Matematické Fórum

Horstorm · 05. 06. 2013 10:44

Ahoj, řeším problém s příkladem : $\sqrt{2x-1}=x-2$
po umocnění mi vyjde kvadratická rovnice $x^{2}-6x+5=0$ , z které spočítám kořeny; vyjdou mi 1 a 5. Jedinou podmínku, kterou v tom vidím, je že 2x-1>0 => x>1/2

Odpověď na otázku kolik reálných kořenů má rovnice má být 1. Kam se poděl ten druhý kořen? Může mi to prosím někdo objasnit? Díky

Blackflower

↑ Horstorm: Podľa mňa je problém v tom, že keď jednotku dosadíš do pôvodnej rovnice, jedna strana bude kladná a druhá záporná. Alebo môžeme rovnicu ekvivalentne upraviť:
$\sqrt{2x-1}-x=-2$
Keď dosadíme jednotku, rovnica neplatí.
Môžeš si pozrieť aj grafické znázornenie - vzhľadom na tvar grafov oboch funkcií by rovnica mala šancu mať dva korene iba na veľmi malom intervale - ešte lepšie je to možno vidieť tu.

LukasM · 05. 06. 2013 10:52

↑ Horstorm:
Umocňování není ekvivalentní úprava, je platná jen v jednom směru. Pokud se dvě čísla rovnají, rovnají se i jejich druhé mocniny. Proto vůbec můžeme dělat umocnění. No jo, ale pokud se rovnají druhé mocniny nějakých čísel, tak z toho ještě neplyne, že ta čísla jsou stejná. Mohou být opačná. A to se právě stalo s tím druhým kořenem.

V podstatě jsi zjistil, že pro x=1 a x=5 se rovnají druhé mocniny těch původních čísel (původní levé a pravé strany). Ale schválně si zkus dosadit obě řešení do původní rovnice a podívej se co je na levé a co na pravé straně.

bejf · 05. 06. 2013 10:59

↑ Horstorm:
Ta podmínka z odmocniny je správně takhle: $x\ge \frac{1}{2}$ , protože výraz pod odmocninou musí být nezáporný, čili může být i roven nule. $2x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac{1}{2}$ .

Jenže i druhá strana rovnice musí být nezáporná, aby mělo smysl ji řešit.
Tudíž z pravé strany také vyvstává podmínka $x-2\ge 0 \Rightarrow x\ge 2$
Tím pak odpadá ten první kořen, který je falešný a vzniknul vlivem neekvivalentní úpravy - umocňování.

Horstorm · 05. 06. 2013 11:17

Díky za odpovědi.
Btw, šlo by to řešit pouze ekvivaletní úpravou?

↑ bejf:
A chápu to dobře, že ta druhá strana také musí být větší nebo rovna nule, protože odmocněním jakéhokoliv čísla nikdy nedostaneme číslo záporné..?

bejf · 05. 06. 2013 11:24

↑ Horstorm:
Možná lépe, že druhá odmocnina záporného čísla není definována.

Matematické Fórum

#1 05. 06. 2013 10:44

Počet reálných kořenů rovnice

#2 05. 06. 2013 10:51 — Editoval Blackflower (05. 06. 2013 10:55)

Re: Počet reálných kořenů rovnice

#3 05. 06. 2013 10:52

Re: Počet reálných kořenů rovnice

#4 05. 06. 2013 10:59

Re: Počet reálných kořenů rovnice

#5 05. 06. 2013 11:17

Re: Počet reálných kořenů rovnice

#6 05. 06. 2013 11:24

Re: Počet reálných kořenů rovnice

Zápatí