Matematické Fórum

smiley25 · 06. 06. 2013 16:31

Ahoj , mam dva body paraboly A [0,0] a B [25,0]. Jak zjistim vrchol paraboly?

bejf · 06. 06. 2013 16:53

↑ smiley25:
Ahoj. Označ si souřadnice bodu $A[x_{1},y_{1}],B[x_{2},y_{2}]$
Z toho můžeš vidět, že $x_{1}=0,x_{2}=25$ .
Sestavíš rovnici, která se rovná nule.
$x(x-25)=0$
$x^2-25x=0$ a doplníš na úplný čtverec.

smiley25 · 06. 06. 2013 22:05

promin. mozna jsem trochu hloupej, ale jak zjistim y souradnici vrcholu?

bejf · 06. 06. 2013 22:07

↑ smiley25:
Pokud nevíš, nic se neděje. K té kvadratické rovnici bez absolutního členu ti je jasné jak jsem došel?

smiley25 · 06. 06. 2013 22:25

ano tomu rozumim.

bejf · 06. 06. 2013 22:55 — Editoval bejf (06. 06. 2013 22:57)

↑ smiley25:
Dobře.
Tak potom, abys zjistil z kvadratické rovnice souřadnice vrcholu paraboly, tak máš dvě možnosti.

Dosadíš do vzorce pro výpočet vrcholu paraboly jednotlivé hodnoty.
$V=\left [-\frac{b}{2a};c-\frac{b^2}{4a}\right ]$
vyjde nám
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{(-25)}{2}=\frac{25}{2}$
$y=c-\frac{b^2}{4a}=0-\frac{625}{4}=-\frac{625}{4}$
Tedy $V=\left [\frac{25}{2};-\frac{625}{4}\right ]$

Musel by sis tyhle vzorce ale pamatovat. Pro mě je jednodušší rozhodně kvadratickou rovnici upravit doplněním na úplný čtverec.

$x^2-25x=0$ Jak vidíš, tuhle rovnici nelze psát ve tvaru $a^2-2ab+b^2$ a pak ji přepsat jen na $(a-b)^2$ .
Musíme ji upravit. Nejprve uvážím, že první člen $x^2$ bude jako první člen a $-25x$ jako druhý člen v rozkladu $a^2-2ab+b^2$ .
Tím se dostáváme k tomu, že abychom měli takovýho tvar rovnice podle uvedeného vzorce, kde víme, že prostřední člen je $-2ab$ , tak $b$ musí být rovno $\frac{25}{2}$ .
V našem případě je $-2\cdot x \cdot \frac{25}{2}$ což je rovno $-25x$ , tj. druhý (lineární) člen kvadratické rovnice.
Tudíž víme, že absolutní člen bude $$-\frac{25}{2}$^2$ ve vzorci místo $b^2$ .
Takže kvadratická rovnice bude vypadat $x^2-25x+$-\frac{25}{2}$^2$ .
Teď je ale ovšem nutné zase tu samou hodnotu odečíst, aby se nezměnil předpis funkce.
Takže celkově to vypadá takto.
$x^2-25x+$-\frac{25}{2}$^2-$-\frac{25}{2}$^2=0$
$$x-\frac{25}{2}$^2-\frac{625}{4}=0$

V posledním zápisu, již doplněném na úplný čtverec, se souřadnice x rovná $\frac{25}{2}$ a souřadnice y se rovná $-\frac{625}{4}$