Matematické Fórum

OndraVesely · 11. 06. 2013 18:46

Ahoj, zpočítal jsem tento riemannuv integral. Jen nevím zdali je ten postup na konci příkladu dobře.
$\int^{\infty }_{0} {\frac{x \log x}{(1+x^2)^2}} dx$

Vypočítal jsem primitivní funkci:
$\frac{1}{4} \left( \frac{2x^2 \log x}{1+x^2}- \log(1+x^2) \right)$

Dosadímli $+\infty$ místo $x$ dostanu

$\left[ \frac{1}{4} \left( \frac{2x^2 \log x}{1+x^2}- \log(1+x^2) \right) \right]^{\infty }_{0} &= \frac{1}{4} \left( \frac{\infty}{\infty}-\infty \right)-\frac{1}{4} \left( \frac{2 \log 1}{1}-\log 1 \right) \\ &= \frac{1}{4} \left( \frac{\infty}{\infty}-\infty \right)$

Takový příklad kkde bych musel ještě řešit ten problém $\frac{\infty }{\infty }$ jsem ješte neviděl

Mohu použít následující řešení?
$I=\frac{1}{4} \left( \frac{2x^2 \log x}{1+x^2}- \log(1+x^2) \right)$
$\lim_{x\to\infty}I=0$
$\left[ \frac{1}{4} \left( \frac{2x^2 \log x}{1+x^2}- \log(1+x^2) \right) \right]^{\infty }_{0}=0-0=0$

kexixex · 11. 06. 2013 19:20

Ano, $[F(x)]_{a}^{b}=\lim_{x\to b-}F(x)-\lim_{x\to a+}F(x)$ a kdyz je F v a, b spojita, pak tam muzes dosadit rovnou

martisek · 11. 06. 2013 19:20

↑ OndraVesely:

Ahoj,

řekl bych, že to počítáš tak trochu na svůj úkor. Nedosazoval bych ani ty ležatý brejle, ani tu nulu - kolik je log 0?? Je třeba to počítat jako limity, např:

$\int_1^\infty f(x)dx = \lim_{a \to \infty} \int_1^a f(x)dx$

martisek · 11. 06. 2013 19:23

↑ kexixex:

Jenže v nule není definovaná, takže tam nemůže být spojitá a funkci spojitou v nekonečnu si dost dobře nedovedu představit...

Jj · 11. 06. 2013 19:51

↑ martisek:

lim x-->0+ = 0, takže postup může uplatnit.

martisek · 11. 06. 2013 20:14

↑ Jj:

No, asi jak kde. Kdyby u zkoušky napsal něco takového

$\left[ \frac{1}{4} \left( \frac{2x^2 \log x}{1+x^2}- \log(1+x^2) \right) \right]^{\infty }_{0} &= \frac{1}{4} \left( \frac{\infty}{\infty}-\infty \right)-\frac{1}{4} \left( \frac{2 \log 1}{1}-\log 1 \right) \\ &= \frac{1}{4} \left( \frac{\infty}{\infty}-\infty \right) = 0$

mně, no tak tu zkoušku rozhodně neudělá.

Jj · 11. 06. 2013 20:20

↑ martisek:

To jo (ovšem - jak píše, setkal se s tím poprvé).

Já jsem měl na mysli postup podle $[F(x)]_{a}^{b}=\lim_{x\to b-}F(x)-\lim_{x\to a+}F(x)$ , to by snad v tomto případě jít mělo.

martisek · 11. 06. 2013 20:26

↑ Jj:

to jo, ale tam mě zmátl ten požadavek spojitosti - když je tam funkce spojitá, jsou samozřejmě limity zbytečné. Toto se použije v případě nespojitosti, anebo (což je tento případ), kdy funkce v a;b není definována. Pak je to totéž, co jsem psal já :-)

kexixex · 12. 06. 2013 12:18

↑ martisek:
Jasne, chtel jsem rict, ze ty limity jsou tam vzdycky (at je prim fce spojita nebo ne), ale v pripade, ze je primitivni funkce spojita se muzou vynechat (protze limita spojite fce v bode a se rovna jeji funkcni hodnote v bode a). Samozrejme, pokud napisu $[F(x)]_{a}^{b}=\lim_{x\to b-}F(x)-\lim_{x\to a+}F(x)$ , je mozna zbytecne zavadejici dodavat neco o spojitosti F, protoze vzorec plati i kdyz funkce F spojita neni

Matematické Fórum

#1 11. 06. 2013 18:46

Riemannuv integral kontrola postupu

#2 11. 06. 2013 19:20

Re: Riemannuv integral kontrola postupu

#3 11. 06. 2013 19:20

Re: Riemannuv integral kontrola postupu

#4 11. 06. 2013 19:23

Re: Riemannuv integral kontrola postupu

#5 11. 06. 2013 19:51

Re: Riemannuv integral kontrola postupu

#6 11. 06. 2013 20:14

Re: Riemannuv integral kontrola postupu

#7 11. 06. 2013 20:20

Re: Riemannuv integral kontrola postupu

#8 11. 06. 2013 20:26

Re: Riemannuv integral kontrola postupu

#9 12. 06. 2013 12:18

Re: Riemannuv integral kontrola postupu

Zápatí