Matematické Fórum

oliii · 13. 06. 2013 15:30

Mám zadání V aritmetické posloupnosti je dáno $s5=s6=60$ vypočítej a1, d . Fakt nevím co stím prosím pomozte vypočítata i s komentářem at to pochopím zkoušela jsem i soustavu rovnic ale nejde mi to nemůžu s tím hnout :(

bejf · 13. 06. 2013 15:44 — Editoval bejf (13. 06. 2013 15:48)

↑ oliii:
Platí:
$s_{5}=\frac{5}{2}(a_{1}+a_{5})$
$60=\frac{5}{2}(a_{1}+a_{1}+4d)$
a potom taky
$s_{6}=\frac{6}{2}(a_{1}+a_{6})$
$60=\frac{6}{2}(a_{1}+a_{1}+5d)$ .
Voila, máme soustavu:
$120=10a_{1}+40d\nl 60=6a_{1}+15d$

oliii · 13. 06. 2013 18:46

no hezké ale jak jsi se dostal k té soustavě prostě nechápu proč jedno má 120 druhé 60 asi jsem fakt blbá :(

bejf · 13. 06. 2013 20:06

↑ oliii:
Prve si vyjádřím $a_{5}$ jako $a_{1}+4d$ a $a_{6}$ jako $a_{1}+5d$ .
Pak dosazuji do vzorce pro součet n členů.
V první je $n=5$
$60=\frac{5}{2}(a_{1}+a_{1}+4d)$ což je přeci stejné jako $60=\frac{5(a_{1}+a_{1}+4d)}{2}$ a vynásobím to dvěma, abych se zbavil zlomku, odtud $120=10a_{1}+20d$ (v předchozím příspěvku jsem se upsal, omlouvám se, má být opravdu 20d)

Ve druhé rovnici je $n=6$
$60=\frac{6}{2}(a_{1}+a_{1}+5d)$ tady nic násobit dvojkou nemusím, protože 6 děleno 2 je 3, takže jen závorku roznásobím trojkou, odtud $60=6a_{1}+15d$

Pak už jen zbývá dořešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, což by měla být hračka.
Nebo jestli ne, tak můžu ještě navést.

oliii · 13. 06. 2013 20:38

↑ bejf: skvělé ted už to chápu tu soustavu snad zvládnu ale tím si taky nejsem jistá :) zjistila jsem že učitel nám dal příklad z posloupnoti co jsme ještě nedělali což je tenhle ale já jsem hrozná pokud to nedořeším nespím což už je druhý den :) tak pokud můžeš a máš čas dej mi sem i postup soustavy nevím který postup použít ale asi sčítací né ?

bejf · 13. 06. 2013 21:01

↑ oliii:
Dobře. K vyřešení soustavy pouze o dvou neznámých nám stačí vyjádření jedné neznámé z libovolné rovnice a dosadíme tu rovnost do té druhé rovnice za tu vyjádřenou neznámou. Tím se zbavíme jedné neznámé prozatím a řešíme jen jednu rovnici s jednou neznámou, což umíme. Takže

$120=10a_{1}+20d\nl 60=6a_{1}+15d$
------------------------
Vyjádřím si třeba z první rovnice $a_{1}$
$120-20d=10a_{1}$ vydělím deseti
$12-2d=a_{1}$ mám vyjádřené $a_{1}$ a dosadím do druhé rovnice tuhle rovnost místo $a_{1}$

$60=6(12-2d)+15d$
$60=72-12d+15d$
$-12=3d$
$d=-4$ mám spočítanou diferenci, a teď zpětně dosadím do té rovnosti, ve které jsem vyjadřoval $a_{1}$

$a_{1}=12-2d$ tady už vím, že $d=-4$
$a_{1}=12-2\cdot(-4)$
$a_{1}=12+8=20$

Hotovo.

oliii · 13. 06. 2013 22:21

↑ bejf:mooooc děuju musím si to napsat a pak už můžu dělat chytrou .... teda pokud to dostanu do hlavy ale díky Tobě určitě

jelena · 14. 06. 2013 08:52

Zdravím,

k podrobnému návrhu od kolegy ↑ bejf: (děkuji), který je univerzální, pro každou aritmetickou posloupnost, pokud jsou zadány jednotlivé součty prvních n členu ještě přídam zrychlený postup, který využívá konkrétní zadání: $S_5=S_6=60$

Součet 6 členů můžeme zapsat jako $S_6=S_5+a_6$ , jelikož $S_5=S_6$ , potom $a_6=0$ . Tento výsledek a zadanou $S_6$ již můžeme použit do $s_{6}=\frac{6}{2}(a_{1}+a_{6})$ , najít $a_1$ a dokončit vzorcem pro nalezení d.

Lze označit za vyřešené? Děkuji.