Matematické Fórum

Ibanus · 18. 06. 2013 13:08 — Editoval Ibanus (18. 06. 2013 13:23)

Zdravím,

mám dejme tomu funkci:

$f(x,y)=x^{2}+4xy+2y^{2}$ s vazební podmínkou: $g(x,y)=x^{2}+y^{2}-5=0$

a tato funkce u prvních parciálních derivací dává při použití Lagrange toto:

$2x+4y+2\lambda x$ pro x
$4x+4y+2\lambda y$ pro y

Nyní mám soustavu:
$-2x+4y+2\lambda x=0$
$4x+4y+2\lambda y=0$
$x^{2}+y^{2}-5=0$

Tu chci vyjádřit, dejme tomu, že chci lambdu:
$\lambda =\frac{-2x-4y}{2}$ z první rovnice
$\lambda =\frac{-4x-4y}{2}$ z druhé rovnice

Tedy skrz rovnost chci zjistit vztah mezi x a y. No a zde je zádrhel. Obvykle jsou jednoduché rovnice řešitelné tak, že jedna rovnice má jen jednu proměnnou a jde dosadit. Tady nejde. Zjistím pouze, že $x=0$ a tedy nevím, kolik y je x. Nevychází mi to ani za mák.

Wolfram mi píše tyto výsledky

Děkuji za pomoc :-)

user · 18. 06. 2013 13:13

Ahoj,

zdá se mi, že je špatně zderivováno.

Ibanus · 18. 06. 2013 13:18 — Editoval Ibanus (18. 06. 2013 13:22)

↑ user:

Ahoj, jo máš, pravdu, u derivace podle x jsem zapomenul dát před 2x hodnotu -2x. Upravím to nahoře. Jinak nevím, kde jsem to ještě špatně zderivoval.

Derivoval jsem z:
$L(x,y)=x^{2}+4xy+2y^{2}\cdot \lambda (x^{2}+y^{2}-5)$

Opravím si ty derivace.

Ibanus · 18. 06. 2013 13:34 — Editoval Ibanus (18. 06. 2013 13:57)

I když jsem ty derivace opravil. Stále jsem na nic nepřišel.

Mám opravené lambdy:
$-2x+4y+2\lambda x$
$4x+4y+2\lambda y$
$x^{2}+y^{2}-5=0$

tj.

$\lambda =\frac{2x-4y}{2x}$
$\lambda = \frac{-4x-4y}{2y}$

A to nic kloudného taky nevydá.

Úpravou dostanu:
$\frac{2x-4y}{2x}= \frac{-4x-4y}{2y}$
$2y(2x-4y)=2x(-4x-4y)$
...
$2x^{2}+3xy-2y^{2}=0$

Zde mě napadlo vyjádřit jedině y, ale dosazením do rovnice vazby si nepomůžu, protože tam stále vadí y.

user · 18. 06. 2013 13:59 — Editoval user (18. 06. 2013 14:01)

Ano podobně se dá postupovat. Pokud vím, tak žádný obecný návod jak řešit soustavy polynomiálních rovnic není. Ale v určitých případech (obvykle příklady ze sbírky) to řešit lze.

Já jsem se dostal ke stejné rovnici jak uvádíš, takže máme soustavu:
$x^2+y^2=5\\ 2x^2+3xy-2y^2=0$

Tu jsem vyřešil tak, že jsem ze soustavy eliminoval jeden kvadrát a dostal jsem $4x^2+3xy=10$ . Odtud už lze vyjádřit y a dosadit do jedné z rovnic. Vede to na polynom čtvrtého stupně v x, který lze vyřešit za příznivých okolností.

Ibanus · 18. 06. 2013 14:17 — Editoval Ibanus (18. 06. 2013 14:30)

↑ user:

Chápu, tedy jsem postoupil na:

$y=\frac{10-4x^{2}}{3x}$

a zde tedy dosazuji do rovnice vazby:

$x^{2}+(\frac{10-4x^{2}}{3x})^{2}=-5$

odtud úpravou:

$9x^{4}+100-80x^{2}+16x^{4}=-5$
tedy:
$x^{2}(7x^{2}-80)+95=0$

Je to takto ok?

Rumburak · 18. 06. 2013 14:20

↑ Ibanus:

Ahoj.

Máš tam, myslím, nějaké překlepy. Místo $L(x,y)=x^{2}+4xy+2y^{2}\cdot \lambda (x^{2}+y^{2}-5)$ mělo být, dejme tomu,

$L(x,y)=x^{2}+4xy+2y^{2} \fbox{+} \lambda (x^{2}+y^{2}-5)$

(metoda by fungovala i se znaménkem minus před $\lambda$ ) . Parciálním zderivováním funkce L podle x dostaneme $2x + 4y + 2\lambda x$ ,
podle y $4x + 4y + 2\lambda y$ .

Ibanus · 18. 06. 2013 14:25

↑ Rumburak:

Já se moc omlouvám, asi i mojí hloupostí, ale ta funkce začíná jinak. Má být
$f(x,y)=-x^{2}+4xy+2y^{2}$

to mínusko na začátku funkce jsem tam nenapsal. V parciálních derivacích jsem ho zmínil.

Omlouvám se.

Rumburak · 18. 06. 2013 14:33

↑ Ibanus:
Nic se neděje, chyby děláme všichni. :-)

Ibanus · 18. 06. 2013 14:39 — Editoval Ibanus (18. 06. 2013 14:49)

↑ Rumburak:

Díky :-)

No, trochu jsem laboroval, možná tato podoba je lepší:

$x^{2}+\frac{10^{2}-80x^{2}+16x^{4}}{9x^{2}}-5=0$

Z toho jsem došel teda na rovnici:

$25x^{4}-125x^{2}+10^{2}$

No a vydělením 25 se to krásně zmenší na:

$x^{4}-5x^{2}+4=0$

Vede to na substituci, takže
$t=x^{2}$

No a tím se dostanu ke kořenům. :-) Tak díky moc :-)