Matematické Fórum

symetrala · 21. 06. 2013 22:21

Zdravím, věděl by někdo jak vyřešit tuto ulohu?

jelena · 23. 06. 2013 09:27

Zdravím,

tento typ úlohy diskutoval kolega Brano (a na podnět kolegy jsem opravovala svůj příspěvek s návodem, měla jsem chybu). Jsou to stejné principy pro obě podúlohy. Podaří se použit? Děkuji.

symetrala · 23. 06. 2013 10:57

↑ jelena:
Zdravim, takze ta druha cast :
N (150, 1800)
z toho vznikne N(150n,1800n) a hledame pravd. P(aX>10000)<0,01
No ale jak dál z tohoto vztahu? A jak resit acko? Diky

jelena · 23. 06. 2013 14:05

↑ symetrala:

předně pozor na jednotky, dáme všechno do kg (nosnost 10000 kg, střední hodnota 150 kg, rozptyl 1,8 kg^2).

Nová náhodná veličina (viz kolega Brano) okopírováno: $x_1+...+x_n\sim\mathcal{N}(n\mu,n\sigma^2)$ .
Pro a) máme $\mathcal{N}(65\cdot 150,65\cdot 1.8)$ a hledáme pravděpodobnost $P(Y>10000)$ - v řešené úloze 25 je to 1. vzorec (nebo kolega Brano po opravě). Budeš potřebovat tabulky.

Pro b) máme $P(aX>10000)\geq 0.99$ . Stejný vzorec jako pro a, jen vznikne rovnice, kterou budeme řešit.

symetrala

↑ jelena:
a) takze F(x)=fí(x-mí/rozptyl)
P(Y>10000)=1-P(Y<=20)=1-fí(10000-65*150/65*sqrt(1,8))=1-fí(2,86)=1-0,99788=0,00212 ?

b)
x-9750/65*sqrt(1,8)=0,99
x-9750/87,206=0,99
x-9750=86,333
x=9836,33 kg ?

Mohl by to být nějak takto, ale vůbec si nejsem jist, jestli ten rozptyl v zadani je sigma na druhou a tim padem ho musim odmocnit anebo je to jen sigma. Tak jsem vychazel, ze je to sigma na druhou. Děkuji za kontrolu.

jelena · 23. 06. 2013 17:46

↑ symetrala:

V zadání vidím rozptyl (který by však neměl mít stejné jednotky, jak měřená veličina - pokud vážíme na kg, tak potom směrodatná odchylka $\sigma$ je ve stejných jednotkách (kg), ale ne rozptyl) nebo u vás.

P(Y>10000)=1-P(Y<=20)=1-fí((10000-65*150)/(sqrt(65*1,8)))=1-fí(2,86)=1-0,99788=0,00212 ?

To se omlouvám, napsala jsem, že v odkazu je to první vzorec - ano první, ale $P(Y>10000)$ (můj překlep) není dle zadání, má být, že hledáme pravděpodobnost, že skutečná hodnota nepřekročí povolenou, tedy $P(Y<10000)$

Stejný překlep se znaménkem mám i v 2. zápisu, má být

$P(aX<10000)\geq 0.99$ , ale na řešení rovnice to nemá vliv (přesně jsi asi toto znaménko nepoužil, opět bylo dle vzorce 1):

(x-9750)/(sqrt(65*1,8))=0,99

předpokládám, že závorky jsi použil tak a 65 je pod odmocninou.

jestli ten rozptyl v zadani je sigma na druhou a tim padem ho musim odmocnit anebo je to jen sigma.

rozptyl beru jako "sigma na druhou" a proto třeba do vzorce odmocnit: $\mathcal{N}(n\mu,n\sigma^2)$ ("nový rozptyl je "nová sigma"^2), tedy $\sigma_{nova}=\sqrt{n\sigma_{puvodni}^2}=\sqrt{nD_{puvodni}}.$

Omlouvám se za zmatky se znaménkem v nerovnici.

symetrala

↑ jelena:
Ja tam mam pod odmocninou jen 1,8, tam uz jsi me citovala s celym jmenovatelem pod odmocninou, tak nevim, co je spravne.
Pokud to ma byt takto, tak to vyjde
P(Y<10000)=fí((10000-9750)/(sqrt(65*1,8)))=fí(23,11)=? hodnotu v distr.rozdeleni neni.

Podle me ma byt pod odmocninou jen 1,8, čili:
P(Y<10000)=fí((10000-9750)/65*sqrt(1,8))=fí(2,86)=0,99788 , coz je vysledek toho acka.

Takze si myslim, ze pod odmocninou ma byt jen te rozptyl, nikoliv ta 65ka.

b)
x-9750/65*sqrt(1,8)=0,99
x-9750/87,206=0,99
x-9750=86,333
x=9836,33 kg ?

65neni pod odmocninou.
Mohlo by to byte tedy takto?

jelena · 23. 06. 2013 18:18

↑ symetrala:

já jsem necitovala, ale opravovala. Tento vzorec $\sigma_{nova}=\sqrt{n\sigma_{puvodni}^2}=\sqrt{nD_{puvodni}}$ by měl být v pořádku. Problém spíš vidím v zadání samotném - pokud jsou jednotky, tak bych 1800 g brala jako směrodatnou odchylku (ne rozptyl). Jak moc to spěchá? Až budu doma, tak bych si to alespoň napsala na papír.

Nebo zkus ještě projít toto téma (také mají Var(X)) Máš jiné úlohy k tomuto tématu od vás? Děkuji.

symetrala

↑ jelena:
Do zítřka do 12h. nejdele, kdyby ses na to stihla podivat. Taky si tim nejsem jisty, ale pokud se to prevede tak to je 1,8kg a mela by byt odmocnina jen z toho rozptylu. Nevim, kde jsi prisla na to, ze tam musi byt i ten pocet n pod odmocninou, protoze pak to nevyjde. Dekuji.
PS: jine ulohy bohuzel nemam.

Jj · 23. 06. 2013 19:31

↑ symetrala:

Omlouvám se za vstup do tématu, ale pokud úloha spěchá:

Kolegyně ↑ jelena: má pravdu - součet 'n' nezávislých náhodných veličin s normálním rozdělením $N(\mu, \sigma^2)$ má normální rozdělení $N(n\mu, n\sigma^2)$ .

Tu není co řešit - pokud úloha nevychází, je nutno hledat chybu jinde.

symetrala · 23. 06. 2013 19:42

↑ Jj:
No ja nevim jestli nevychází, neznam vysledky, ale jen nemohu najit tu hodnotu co me vysla, v tabulkach(protoze tam neni 23,11), tak mi prislo spravne odmocnit jen rozpyl, pokud tedy jak rikate, tam ma byt i n. Tak jestli byste se podival na ten postup, viz vyse, kde je tedy chyba? Dekuji.

jelena · 23. 06. 2013 21:42

↑ Jj:

Zdravím Vás a moc děkuji, pokud se podíváte (teď jsem došla z práce a než se v tom horku proberu) - řekla bych, že problém může být i v samotném zadání (1800 gramů moc na rozptyl nevypadá). Pro kolegu ↑ symetrala:: vzorce jsou např. zde na závěr textu.

Jj · 23. 06. 2013 22:40 — Editoval Jj (23. 06. 2013 22:53)

↑ symetrala:

$\mu =65*150 = 9750\\ \sigma^2 =65*1.8= 117\\ \sigma =10.82$

$u=\frac{x-\mu}{\sigma} = 23.11$

a) P(X <= 10000) ~ dle tabulek normovaného rozložení ~ P(U <= 23.11) = 1
(prakticky, i funkce v Excelu počítající na 9 des. míst zaokrouhluje v tomto
případě na 1)
V tabulkách se při vyšších argumentech nad cca 4 obecně bere P = 1), čili nic
neobvyklého, že jste v tabulce hodnotu k argumentu 23.11 nenašel.

b) P(X <= x) = 0.99:
Z tabulek normovaného rozložení nutno určit "inverzně"
hodnotu argumentu, příslušející pravděpodobnosti 0.99:

$u=\Phi ^{^{-1}}(0.99)=2.33$
čili
$\frac{x-9750}{10.82}=2.33\Rightarrow x \doteq 9775 kg$

Pokud jsem se tedy nespletl. Ještě si to přepočítejte.

Kolegyně Jelena upozorňuje na rozpor v zadání (rozptyl by neměl být uváděn ve
váhových jednotkách). Neumím posoudit, co měl na mysli zadavatel úkolu - pokud
směrodatnou odchylku, pak by se poněkud změnila hodnota přepočtené směrodatné
odchylky, což by ovlivnilo i výsledek ad b) /9784 kg/. Výsledek úlohy a) by se nezměnil.

symetrala · 23. 06. 2013 23:52

↑ Jj:
Moc vám děkuji. Už to chápu, jen jsem vůbec neměl tušení, ani nám to ve škole snad nikdy nevyšlo, že hodnota která není v tabulce se bere jako 1, což je i docela zajímavý výsledek. Děkuji Jj i Jeleně.

jelena · 24. 06. 2013 09:59

↑ Jj:

také velice děkuji.

↑ symetrala:

u těch čísel a jednotek u rozptylů - asi by to stalo za to poznamenat do práce, pokud odevzdáváš, nebo jdeš konzultovat.

Jinak co do číselného vyjádření výsledku pro a): průměrná hmotnost 65 výrobků je 9750 kg, do povolené 10000 zbývá 250 kg, což je +(250/65=3,8 kg) na každé zavazadlo. Pokud hrubě představím, že každý výrobek je jen v plusové toleranci a použiji pravidlo "3sigmy", tak do 3,8 mi vejde cca 1,3 kg 3krát. Naopak 1,3 kg je cca $\sigma=\sqrt{1.8}$ ze zadání. Tedy takovým hrubým odhadem vidím, že z dat mám skoro jistotu, že přetížení nebude.

Matematické Fórum

#1 21. 06. 2013 22:21

pravdepodobnost

#2 23. 06. 2013 09:27

Re: pravdepodobnost

#3 23. 06. 2013 10:57

Re: pravdepodobnost

#4 23. 06. 2013 14:05

Re: pravdepodobnost

#5 23. 06. 2013 14:39 — Editoval symetrala (23. 06. 2013 14:40)

Re: pravdepodobnost

#6 23. 06. 2013 17:46

Re: pravdepodobnost

#7 23. 06. 2013 18:02 — Editoval symetrala (23. 06. 2013 18:04)

Re: pravdepodobnost

#8 23. 06. 2013 18:18

Re: pravdepodobnost

#9 23. 06. 2013 18:22 — Editoval symetrala (23. 06. 2013 18:23)

Re: pravdepodobnost

#10 23. 06. 2013 19:31

Re: pravdepodobnost

#11 23. 06. 2013 19:42

Re: pravdepodobnost

#12 23. 06. 2013 21:42

Re: pravdepodobnost

#13 23. 06. 2013 22:40 — Editoval Jj (23. 06. 2013 22:53)

Re: pravdepodobnost

#14 23. 06. 2013 23:52

Re: pravdepodobnost

#15 24. 06. 2013 09:59

Re: pravdepodobnost

Zápatí