Matematické Fórum

PanTau · 23. 06. 2013 10:48 — Editoval PanTau (23. 06. 2013 10:48)

Ahoj, počítal jsem tento příklad:

Postup výpočtu:
1. ověřím asociativitu:
$(a\oplus b)\oplus c = (a+b+2ab)+c+(a+b+2ab)*c$ $=a+b+c+2ab+ac+bc+2abc$
$a\oplus (b \oplus c) = (b+c+2bc)+a+(b+c+2bc)*c$ $= a+b+c+2bc+bc+c^{2}+2bc^{2}$

Je to dobře? Pokud jsem to vypočítal dobře, vychází že nejsou asociativní, to znamená že netvoří grupu?

A výsledkem je: Netvoří grupu, dále počitat nemusím? Díky za kontrolu!
(Našel jsem tu spousty jiných příkladů ale tenhle ne)..

martisek · 23. 06. 2013 11:01

↑ PanTau:

Jednak to asi nemáš dobře (na pravý stranách mi někde chybí dvojka) a za druhé - zadání zní jinak. Ty přece nemáš ověřit, zda všechna reálná čísla s touto operací tvoří grupu, ale vybrat množinu reálných čísel tak, aby s touto operací grupu tvořila.

PanTau · 23. 06. 2013 11:05

↑ martisek:
Díky za reakci, moc tomu nerozumím, můžeš mi prosím říct v jaké části je chyba?
Přepočítal jsem to ještě jednou a vyšlo to stejně.

Nicméně, když to počítat, musím provést následující kroky:

1)overime asociativitu
2)neutralni prvek
3)inverzni prvek

----------------------------

Hanis · 23. 06. 2013 12:09

Ahoj,
jak píše ↑ martisek:, máš to ověřeno blbě.
$(a\oplus b)\oplus c = (a+b+2ab)+c+2(a+b+2ab)\cdot c$

A otázka je, která podmnožina reálných čísel tvoří s danou operací grupu. Tzn asociativní zákon musí platit.

martisek · 23. 06. 2013 12:21

↑ PanTau:

Je-li

$a\oplus b = a +b +2ab$

pak

$(a\oplus b)\oplus c = (a+b+2ab)+c+2 \cdot (a+b+2ab)\cdot c =a+b+c+2ab+2ac+2bc+4abc$
$a\oplus (b\oplus c) = a+(b+c+2bc)+2 \cdot a\cdot (b+c+2bc)=a+b+c +2ab+2ac+2bc+4abc$

Takže asociativní mi to vychází. S neutrálním prvkem potíže asi taky nebudou, s inverzním asi ano.

Ale znovu opakuji - Tvým úkolem není ověřit, zda všechna reálná čísla s touto operací tvoří grupu. Máš najít podmnožinu R, která s touto operací tvoří grupu. Tj. najít třeba jen dvě (tři, čtyři pět...) čísel, která všechny tyto podmínky splňují.

PanTau · 23. 06. 2013 12:36

↑ Hanis:

Díky za odpověd.

$(a\oplus b)\oplus c = (a+b+2ab)+c+2(a+b+2ab)\cdot c$ - ta 2 navíc, kterou jsi připsal, je tam z důvodu, protože v zadání je 2ab?

Po opravě:

$a\oplus (b \oplus c) = (b+c+2bc)+a+2(b+c+2bc)*a$ $=a+b+c+2ab+2ac+2bc+4abc$
$(a\oplus b)\oplus c = (a+b+2ab)+c+2(a+b+2ab)\cdot c$ $=a+b+c+2bc+2ab+2ac+4abc$

$=>$ je asociativní..

Neutrální prvek:

$a \oplus e = a + e + 2ae$ $=> e = 0$
$e \oplus a = e + a + 2ea$ $=> e = 0$

Protože $a+0+2a0=a$

Resime tedy rovnici
$a+b+2ab=0$

$b=-\frac{a}{2a+1}$

$=> R- ( - \frac{1}{2})$

Je to takhle správně? Děkuji :-)

martisek · 23. 06. 2013 12:56

↑ PanTau:

OK. Ale existují ještě "menší" podmnožiny R, které jsou vzhledem k této operaci grupa. Zkusíš je najít?

PanTau · 23. 06. 2013 13:00

↑ martisek:

Tím že jsem napsal $=> R- ( - \frac{1}{2})$ jsem otázku vyřešil? Nebo ne?

Určitě to zkusit můžu k procvičení, ale nevím jak na to... :-)

martisek · 23. 06. 2013 13:39

↑ PanTau:

Příklad jsi určitě vyřešil, ale nalezením ještě dalších řešení to určitě nepokazíš. Napovím, že "nejmenší grupa" s touto operací má jenom jedno jediné číslo :-)

PanTau · 23. 06. 2013 14:03 — Editoval PanTau (23. 06. 2013 14:21)

↑ martisek:

To ovšem nevím co znamená("nejmenší grupa") :-) hihi,

k procvičení jsem udělal další příklady, pokud máš čas a chuť, nebráním se kontrole:

Příklad A)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Příklad B)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Příklad C)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Doufám že jsou OK :-) díky

EDIT:

Tak jsem našel řešení tich příkladů a jsou stejně (tudíž doufám že i správně).

Tímto ti velice děkuji za pomoc :-))

Když už jsme u tich grup, mám ještě jeden druh přikladu, který neumím řešit, věděl bys jak na něj? :-)

http://forum.matweb.cz/upload3/img/2013-06/90050_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

martisek · 23. 06. 2013 16:48

↑ PanTau:

Tou "nejmenší grupou" myslím grupu, která obsahuje nejméně prvků. V každém případě je to tzv. triviální grupa, tj. grupa, která obsahuje jen neutrální prvek a žádný jiný. Takže jak našemu původnímu příkladu (označme ho Z), tak příkladům A, B, C vyhovuje kromě množin, které uvádíš, i množina {0}. Příkladu Z ale vyhovuje třeba i množina všech celých čísel sjednocená s jejich opačnými prvky, což jsou zlomky s lichým jmenovatelem.

Při konstrukci takových množin je největším problémem ověřit uzavřenost operace, tj. zda třeba 1/5+1/3 +2*1/3*1/5 je celé číslo (to asi ne), anebo zlomek s lichým jmenovatelem (což tady vychází).

Pokud jde o poslední příklad: opět je třeba nejdřív ukázat, že součinem dvou takových čísel dostanu číslo stejného tvaru (to asi ano), asociativita se ověřovat nemusí (násobení reálných čísel asociativní je), neutrálním prvkem je jednička, tj. číslo tvaru 1+0.sqrt(2), číslo inverzní je 1/(a+b.sqrt(2)), jenom je třeba ověřit, že je požadovaného tvaru (tím, že se usměrní zlomek).

PanTau · 25. 06. 2013 10:22

↑ martisek:↑ martisek:

Ahoj,

díky za odpovědi, tak tenhle příklad snad chápu, pro jistotu jsem to ještě konzulotval s kamarádem, poslal mi tohle(s tím že tomu moc nerozumí), chápu to až do 2/3 stránky kde je napsáno $a=2k$ - proč 2 k? vědel by jsi? Dík:

martisek · 25. 06. 2013 13:16

↑ PanTau:

Ahoj,

je to dobře až k tomu inverznímu prvku. Dobře je ověřeno, že inverzní prvek je požadovaného tvaru. S tou nulou už je to tam trochu alchymie - tam stačí napsat, že neexistuje inverzní prvek k nule, tj. že grupou je množina M-{0}.

PanTau · 25. 06. 2013 16:40

↑ martisek:

Děkuji ti za tvé rady, mnohé si mi vysvětlil a přiučil. Snad z toho máš alespoň radost tak jako já :-)

Dík

Matematické Fórum

#1 23. 06. 2013 10:48 — Editoval PanTau (23. 06. 2013 10:48)

Množina reálných čísel tvoří grupu - kontrola

#2 23. 06. 2013 11:01

Re: Množina reálných čísel tvoří grupu - kontrola

#3 23. 06. 2013 11:05

Re: Množina reálných čísel tvoří grupu - kontrola

#4 23. 06. 2013 12:09

Re: Množina reálných čísel tvoří grupu - kontrola

#5 23. 06. 2013 12:21

Re: Množina reálných čísel tvoří grupu - kontrola

#6 23. 06. 2013 12:36

Re: Množina reálných čísel tvoří grupu - kontrola

#7 23. 06. 2013 12:56

Re: Množina reálných čísel tvoří grupu - kontrola

#8 23. 06. 2013 13:00

Re: Množina reálných čísel tvoří grupu - kontrola

#9 23. 06. 2013 13:39

Re: Množina reálných čísel tvoří grupu - kontrola

#10 23. 06. 2013 14:03 — Editoval PanTau (23. 06. 2013 14:21)

Re: Množina reálných čísel tvoří grupu - kontrola

#11 23. 06. 2013 16:48

Re: Množina reálných čísel tvoří grupu - kontrola

#12 25. 06. 2013 10:22

Re: Množina reálných čísel tvoří grupu - kontrola

#13 25. 06. 2013 13:16

Re: Množina reálných čísel tvoří grupu - kontrola

#14 25. 06. 2013 16:40

Re: Množina reálných čísel tvoří grupu - kontrola

Zápatí