Matematické Fórum

Optix · 25. 06. 2013 00:03

Ahoj, potřeboval bych poradit s tím když mám diferenciál $D(h,k)=(h \frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})f$ co znamenají ty dvě písmena $h,k$ ?? jak je dostanu, nebo jak se snimi pracuje?

Předem děkuji :)

vojta_vorel

Diferenciál je funkce dvou proměnných, která se jistým způsobem podobá funkci f. Diferenciál se ale vždy podobá funkci f jen v okolí nějakého daného bodu $(x_0,y_0)$ (je to "diferenciál v bodě $(x_0,y_0)$ "). Každému přípustnému bodu $(x_0,y_0)$ přísluší jeho vlastní diferenciál, tj. speciální funkce dvou proměnných.
Tvá rovnice je formulovaná jaksi moc vzletně, přijde mi velice nenázorná protože se snaží skrýt význam bodu $(x_0,y_0)$ . Napsal bych spíš něco jako .
Je to lineární funkce dvou proměnných h a k, kde ty výrazy ve velkých závorkách jsou její pevné koeficienty, konkrétní hodnoty jakýchsi parciálních derivací. Bod $(x_0,y_0)$ jde brát taky jako proměnnou, ale nejdřív to chce pochopit jak to vypadá, když si ho takhle zafixuješ a zkoumáš konkrétní diferenciál v tom bodě.
Možná, že pojem "diferenciál v daném bodě" se na tvé škole nenosí, ale každopádně, představa napodobování funkce f v okolí nějakého bodu lineární funkcí je klíčová. Symboly h a k rozhodně vyjadřují proměnné této lineární funkce dvou proměnných.
Možná jsi zvyklý na nějaký opravdu hodně odlišný přístup, v tom případě ti snad pomůže někdo způsobilejší.

stenly · 25. 06. 2013 10:15

↑ Optix:Diferenciál funkce dvou promìnných. Má-li funkce f = f(x; y) spojité parciální
derivace v bodì a; pak lineární formu (funkci)
df(a; h) = @f
@x(a)h1 +
@f
@y(a)h2; h = (h1; h2)
nazýváme diferenciálem funkce f v bodì a: Diferenciál funkce obvykle zapisujeme v
kanonickém tvaru
df(a) = @f
@x(a)dx +
@f
@y(a)dy;
kde diferenciály dx a dy jsou lineární funkce, pro které je
dx(h) = h1 a dy(h) = h2

vojta_vorel

Stenly to chápe podobně jako já. Procvičovací otázka: jakým symbolům v mé verzi odpovídají stenlyho symboly a, h, h1 a h2?

Optix · 25. 06. 2013 15:06

↑ vojta_vorel:

no to co jsi napsal mi příjde naprosto stejné s mým vyjádřením diferenciálu, takže v tom problém nevidím.

Mě zajímá jenom význam těch dvou písmen, například máme-li funkci dvou proměnných
$f(x,y)=5x^2 +y^2 +6$
pak její diferenciál je $10x +2y$ ano?
ale dle definic by to měl být $h*10x +k*2y$
nebo jsem úplně mimo

Brzls · 25. 06. 2013 17:30

↑ Optix:

Zdravím
Nejjednodušší způsob (podle mě) jak chápat písmena h,k je. že

$h=x-x_{0}$
$k=y-y_{0}$

jelikož diferenciál vyjadřuje "přesné hodnoty" pouze v nekonečně malém okolí bodu, tak se např ve fyzice zapisuje místo h, k dx,dy.

Tedy diferenciál funkce f lze psát jako

$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$

nic méně matematika pohlíží na diferenciál jako aproximaci lineární funkcí, proto se místo tohoto zápisu používá ten co máš ve výsledcích

No prostě ty písmena h,k znamenají vzdálenosti od bodu ve kterém je určen diferenciál na příslušných osách

Matematické Fórum

#1 25. 06. 2013 00:03

diferenciál

#2 25. 06. 2013 02:04 — Editoval vojta_vorel (25. 06. 2013 02:05)

Re: diferenciál

#3 25. 06. 2013 10:15

Re: diferenciál

#4 25. 06. 2013 11:57 — Editoval vojta_vorel (25. 06. 2013 11:58)

Re: diferenciál

#5 25. 06. 2013 15:06

Re: diferenciál

#7 25. 06. 2013 17:25 — Editoval Brzls (25. 06. 2013 17:26) Příspěvek uživatele Brzls byl skryt uživatelem Brzls. Důvod: nepřesnost, opravuji

#8 25. 06. 2013 17:30

Re: diferenciál

Zápatí