Matematické Fórum

Vu.Irena

aHOJ, potřebovala bych pomoc s vyšetřením konvergence tohoto integrálu $\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{\sqrt{1-x^{4}}}; n \in \mathbb{N}$ . Postupovala jsem podle toho jak se řeší vetšina příkladů tohoto typu:

- Jako testovací funkci jsem zvolila $g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$
- rozdělila jsem celý integrál $\int_{0}^{1}f(x)=\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{\sqrt{1-x^{4}}}$ na dva integrály: $\int_{0}^{a}\frac{x^{n}}{\sqrt{1-x^{4}}}$ a $\int_{a}^{1}\frac{x^{n}}{\sqrt{1-x^{4}}} ; a \in (0;1)$
- Vypočítala jsem limity $\lim_{x \to 0+}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ a $\lim_{x \to 1-}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{2}$
- Zkusila jsem dokázat že $\int_{0}^{a}g(x)$ a $\int_{a}^{1}g(x)$ jsou KONVEGENTNí tak že jsem nejdříve vypočítala $\int_{}^{}g(x)=-2\sqrt{1-x}$ a pak dosazovala jednotlivé meze takže mi vyšlo:
a) pro $\int_{0}^{a}g(x)=2 \cdot (1-\sqrt{1-a})$ $\Rightarrow$ vyšla určitá hodnota tzn. je KONVERGENTNí
b) pro $\int_{a}^{1}g(x)=2 \cdot \sqrt{1-a}$ $\Rightarrow$ vyšla určitá hodnota tzn. je taky KONVERGENTNí

Moje otázky:
1. Stačí to vše co jsem udělala k tomu abych prohlasila že $\int_{0}^{1}f(x)=\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{\sqrt{1-x^{4}}}; n \in \mathbb{N}$ je KONVERGENTNí ?
2. Je správně ten můj postup ve čtvrtém bodě kdy se snažím ukázat že $\int_{0}^{a}g(x)$ a $\int_{a}^{1}g(x)$ jsou KONVERGENTNí integrály ?
3. Máte nějáké vyhrady vůči řešení celého příkladu ?

Díky

Rumburak

↑ Vu.Irena:
Ahoj.

1. S konvergencí integrálu $\int_{0}^{a}\frac{x^{n}}{\sqrt{1-x^{4}}} , a \in (0, 1)$ není problém, protože integrovaná funkce
je spojitá v uz. intervalu $\langle 0 , a \rangle$ , takže není potřeba ji s ničím porovnávat. Jinak z formálního hlediska je postup správně.

2. Konvergence intagrálu $\int_{a}^{1}\frac{x^{n}}{\sqrt{1-x^{4}}} ; a \in (0;1)$ je zdůvodněna správně (hodnutu té limity jsem ale nepřepočítával).
Také by fungovalo položit $g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (\arcsin x)'$ .

Poznámka. Možná si myslíš, že ta testovací funkce $g$ musí být pro oba krajní body táž, ale tak tomu není.
Až najdu jeden odkaz, dám ho sem.

Slíbený odkaz.

Matematické Fórum

#1 26. 06. 2013 13:35 — Editoval Vu.Irena (26. 06. 2013 13:37)

Je tento integrál konvergentní?-konrola postupu

#2 26. 06. 2013 16:19 — Editoval Rumburak (26. 06. 2013 16:23)

Re: Je tento integrál konvergentní?-konrola postupu

Zápatí