Matematické Fórum

miso16211 · 29. 06. 2013 18:40

nechápem, prečo sa len tak z vyrazu
$\int_{}^{}\cos ^{3}x.2x^{2}dx$

môže len tak pripisat dalsie x do sucinu. ved dx je len určovaci znak, hovori o tom ze hladam derivaciu s neznamou x. Je dx sučin?

teolog · 29. 06. 2013 19:15

↑ miso16211:
Zdravím,
dx není součin, je to jen označení neznámé, podle které se integruje.

miso16211

↑ teolog:
tak ako je možné, že podľa nej derivujem. ak si zadefinujem napr. t= 2x

tak sa mi zobrazi v predpise integralu 2 v súčine.

nie je to náhodou niečo ako toto? $\int_{}^{}5xdx$ = $\int_{}^{}5x\cdot (x)\text{´}$ čize je to násobenie derivaciou x a zaroveň pomôcka, podľa ktorej vie ten kto to počíta, čo je neznáma?

JohnPeca18

No podla mojej vedomosti $dx$ je diference x, a tým se myslí "mala" zmena v hodnote x. Integrál je teda ako suma cez male rozdili v hodnote x, videt to v tom jak se vysvetluje integral ako obsah plochy pod funkciou, s tym, ze se scitaji strasne uzke sloupce sirky dx, a vysky $f(x)$ a proto je to zapsané ako v soucinu $\int f(x)dx$ . A derivácia to je zase pomer "malych zmen" v funkci f(x) k "malym zmenam" x, teda $f'(x)=\frac{df(x)}{dx}$
Tak aspon, ja tomu tak rozumiem.

Potom aj substitucna metoda sa sa da vyjadrit
$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(g(x))\frac{dg(x)}{dx}dx=\int f(g(x))dg(x)$
a ze substituce $t=g(x)$
$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(g(x))dg(x)=\int f(t)dt$

found · 29. 06. 2013 21:41

↑ miso16211:

Ahoj,

JohnPeca podal pěkné vysvětlení, akorát bych neříkal diference, nicméně diferenciál. Já bych ještě rád ukázal ten rozdíl oproti diferenci, který by ti měl ukázat, jak ten integrál jako takový funguje.

Pokud máme nějaké prvky $a_1, a_2, a_3, ...$ , potom jejich lineární kombinací dostaneme

$a = \sum_{k=1}^\infty b_ka_k$ ,

přičemž uvažujme nyní, že hodnoty $a_k$ jsou hodnoty nějakého rozdílu, třeba $x - x_k$ , tedy to označíme $\Delta x_k$ a nazveme diferencí $x$ , máme tedy v závislosti na $x$ novou funkci

$a(x) = \sum_{k=1}^\infty b_k\Delta x_k$ .

Tímhle se dostáváme k určitému spočtenému součtu. Pokud by však byl součet nespočetný (třeba přes reálná čísla), pak často nahrazujeme součet (sumu) integrací, když právě uvažujeme, že diference jde k nule, tj. $x\to x_k$ . Proto dostáváme

$F(x) = \int f(x) dx$ ,

kdy $f(x)$ je funkce, která popisuje spojité rozložení výše uvedených indexů $b_k$ . Potom $dx$ má, jak psal kolega, význam hrozmě malinkaté změny (jdoucí do nuly). Jedná se tedy o součin $f(x) dx$ , ovšem $dx$ už není součin žádného samostatného d a x, jedná se o samostatnou veličinu označující infinitezimální změnu dx.

To, co jsem napsal, není úplně správně v tom smyslu matematické přesnosti, ale já si to takhle rád představuji, protože mi to přijde dost ilustrační. Snad tedy tím pomohu i tobě.

S pozdravem
J.