Matematické Fórum

Freedy · 12. 07. 2013 16:08 — Editoval Freedy (12. 07. 2013 16:15)

Dobrý den, Poradil by mi někdo se součtem řady pro konečné n?:
$\sum_{n=1}^{n=z}2^{2(z-n)}$
Nejsem si jistej tím zápisem, každopádně je to myšleno tak že Z je nějaké číslo, pevně dané a n jde od 1 až po stav kdy bude 2^0 = 1. Proto n=z.
Netuším jak s tím pohnout, děkuju za jakékoliv posunutí.
Vzhledem k tomu že je z dané tak mě napadlo jenom vytáhnout to před řadu:
$\sum_{n=1}^{n=z}2^{2z}*2^{-2n}=2^{2z}\sum_{n=1}^{n=z}\frac{1}{2^{2n}}$
ale dál nevím jak

Rumburak

Zdravím.
Ano, to je správný postup.
Ve finale tedy je nutno sečíst $\sum_{n=1}^{z}\frac{1}{2^{2n}} = \sum_{n=1}^{z}$\frac{1}{4}$^n$ ,
což je částečný součet jisté geometrické řady. Stačí takto ?

Freedy · 12. 07. 2013 17:14

Zkusím, ale umím s tím zacházet když to jde do nekonečna:
$\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{1}{4})^n$
i = n-1 n=1 >> i=0 >
$\sum_{i=0}^{\infty }(\frac{1}{4})^{i+1}=\sum_{i=0}^{\infty }(\frac{1}{4})^i*\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\sum_{i=0}^{\infty }(\frac{1}{4})^{i}$
protože 1/4 < 0 potom:
$\frac{1}{4}*\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$
Jak do toho ale zakomponovat tu konečnou hodnotu?

Freedy · 12. 07. 2013 21:45

neměl by někdo nějaký nápad?

Jj · 12. 07. 2013 22:16 — Editoval Jj (12. 07. 2013 22:17)

↑ Freedy:

Součet prvních 'z' členů geometrické posloupnosti:

$s_z = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \dots + a_1q^{z-1} = a_1\frac{1-q^z}{1-q}$

$a_1=\frac{1}{4}, q=\frac{1}{4}$

Freedy · 12. 07. 2013 22:46 — Editoval Freedy (13. 07. 2013 16:42)

Dobrá tedy. Pokračuju:
Když z = 2013 tak potom:
$\frac{1}{4}*\frac{1-(\frac{1}{4}){^{2013}}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1-(\frac{1}{4})^{2013}}{3}$
To je skoro 1/3 ale neni to trochu blbost?

Když to potom vynásobím původním výrazem dostanu že:
$\sum_{n=1}^{2013}2^{4026-2n}=2^{4026}\frac{1-(\frac{1}{4})^{2013}}{3}$
po úpravě:
$\frac{2^{4026}-1}{3}+1=\frac{2^{4026}+2}{3}$

Je to tak?
Pokud ano, děkuji pěkně :-)

Jj · 12. 07. 2013 23:16

↑ Freedy:

Zřejmě ano. Na co taková numera jsou? Proti nim je počet atomů ve viditelném vesmíru nekonečně malé číslo.

Freedy · 13. 07. 2013 01:28

Numera jsou to krásný... nakonec jsem zjistil, že k celému výsledku ještě musím připočíst jedničku aby byl úplnej :) Jinak u takovéhoto obrovského čísla lze špatně určit správnost výsledku asi :D Když počítám něco do 1000 tak si to představim a odzkouším v hlavě. Tohle číslo si už neodzkouším, takže to musí bejt buď dobře nebo úplně špatně :D

Marian · 14. 07. 2013 11:07 — Editoval Marian (14. 07. 2013 11:18)

Snad ještě jedna poznámka o jednoduché transformaci může být dodána. Lze totiž bez obav sčítat i "od konce" (vlivem komutativity operace sčítání), potom lze manipulovat se součtem efektivněji:

Nyní postačí přímá aplikace součtu prvních členů geometrické posloupnosti s prvním členem $A_1=1$ a posledním členem $A_z=4^{z-1}$ při zřejmém kvocientu $q=4$ . Substitucí (transformací) $N=z-n$ se tak lze vyhnout vytýkání členu a jeho opětovnému zapracování do výsledku součtu.

Freedy · 14. 07. 2013 19:30

Jj, taky me to napadlo. Mimochodem, jak se počítá s touto řadou:
$\sum_{n=0}^{z}2^{2n}=?$

jarrro · 14. 07. 2013 19:44

$2^{2n}=4^n$

Freedy · 14. 07. 2013 20:20 — Editoval Freedy (14. 07. 2013 20:34)

Ok takže zase vzorec?:
$S_n=\frac{1-q^n}{1-q}$
Já mám q = 4
a1 = 1
a počet členů je 2013-1 protože počítám členy od 4^0 po 4^2012

$S_n=\frac{1-4^{2012}}{1-4}=$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=su … D0+to+2012

proč je to jiný výsledek než to co jsem spočítal já?:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 … %7D%7B3%7D

je to kvůli tomu, že je tam zakulkován i "nultý člen" ? Takže vlastně moje n by mělo být 2013 a ne 2012?

Jj · 14. 07. 2013 22:26 — Editoval Jj (14. 07. 2013 22:34)

↑ Freedy:

Ne, n = 2012 (člen a_2013 neexistuje), ale počet sčítaných členů je 2013 (jak správně uvedeno + nultý člen). Pro pro součet členů geometrické posloupnosti od a_0 po a_n se proto použije vzorec

$S_n=a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Freedy · 15. 07. 2013 02:01

presne to sem si myslel :-)

martisek · 16. 07. 2013 19:18

↑ Jj:

Na co taková numera jsou? Třeba na demonstraci faktu, že člověk, který je schopen je chápat, je v jistém smyslu téměř nekonečněkrát větší než téměř nekonečný vesmír...

Jj · 16. 07. 2013 20:58

↑ martisek:

Tak to jo.

Matematické Fórum

#1 12. 07. 2013 16:08 — Editoval Freedy (12. 07. 2013 16:15)

Součet řady

#2 12. 07. 2013 16:46 — Editoval Rumburak (12. 07. 2013 16:49)

Re: Součet řady

#3 12. 07. 2013 17:14

Re: Součet řady

#4 12. 07. 2013 21:45

Re: Součet řady

#5 12. 07. 2013 22:16 — Editoval Jj (12. 07. 2013 22:17)

Re: Součet řady

#6 12. 07. 2013 22:46 — Editoval Freedy (13. 07. 2013 16:42)

Re: Součet řady

#7 12. 07. 2013 23:16

Re: Součet řady

#8 13. 07. 2013 01:28

Re: Součet řady

#9 14. 07. 2013 11:07 — Editoval Marian (14. 07. 2013 11:18)

Re: Součet řady

#10 14. 07. 2013 19:30

Re: Součet řady

#11 14. 07. 2013 19:44

Re: Součet řady

#12 14. 07. 2013 20:20 — Editoval Freedy (14. 07. 2013 20:34)

Re: Součet řady

#13 14. 07. 2013 22:26 — Editoval Jj (14. 07. 2013 22:34)

Re: Součet řady

#14 15. 07. 2013 02:01

Re: Součet řady

#15 16. 07. 2013 19:18

Re: Součet řady

#16 16. 07. 2013 20:58

Re: Součet řady

Zápatí