Matematické Fórum

faiface · 24. 07. 2013 15:48

Nazdar! Mam problem, ktory mozno vobec nie je taky narocny, ale nijakovsky ho neviem vyriesit.

Mame mnohouholnik s jednou stranou dlzky b a n stranami dlzky a. Ako vidiet na obrazku uhly medzi stranami dlzky a su vsetky rovnake (beta). Dva uhly medzi stranou b a stranami a su tiez rovnake (alfa). Ulohou je vypocitat uhly alfa a beta ak pozname premenne a, b a n (pocet stran s dlzkou a).

Rumburak

Ahoj.

Obrazec v první úloze je rovnoramenný lichoběžník složený ze dvou částí, z nichž první je kosočtverce o staně $a$ a vnitřních úhleh $\alpha, \beta$ ,
druhou částí je rovnoramenný trojúhelník se základnou $b-a$ a rameny délek $a$ . Z toho trojúhelníka snadno zjistíme, že

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Dopočítat úhel $\beta$ už je hračka pro základní školu :-).

Ta druhá úloha je jen o málo složitější (je tam navíc jeden rovnoramenný trojúhelník o neznámé základně), ale princip řešení bude podobný -
uvědomit si vztahy v rovnoramenném trojúhelníku.

EDIT. A patrně se to má zobecnit pro libovolné přirozené n >= 3 ?

Freedy · 24. 07. 2013 16:48 — Editoval Freedy (24. 07. 2013 16:49)

Součet úhlu v konvexním n-úhelníku je vždy:
$n(n-2)*180$
Strany a jsou stejné a úhly které je svírají také, takže se bude jednat o polovinu pravidelného n-úhelníku.
Alfa je teda polovina úhlu beta.
Proměnné "a" a "b" ani znát nemusíš, stačí jen vědět že úhel při vrcholu pravidelného n-úhelníka je:
$\frac{(n-2)*180}{n}$
A alfa je teda polovina úhlu beta.

Pokud jsem úlohu pochopil špatně, omlouvám se :D

faiface

↑ Rumburak:
Dakujem za odpoved. Ano, prvy pripad je jednoduchy, ja vsak hlavne potrebujem riesenie pripadov s viacerymi stranemi. Tiez by som chcel upozornit, ze tie trojuholniky nemusia byt rovnoramenne (a teda dany "obluk" nemusi vzdy byt polovicou pravidelneho n-uholnika), pre ukazku davam dalsi obrazok.

Rumburak · 24. 07. 2013 17:00

↑ Freedy:
Ahoj.

1)

Součet úhlu v konvexním n-úhelníku je vždy:
$n(n-2)*180$

Asi ses upsal, mělo to být jen $(n-2)*180$ .

2) Odkud plyne, že obrazce jsou nutně polovinami pravidelných 2n - úhelníků ?

Rumburak

↑ faiface:

Jasně, to jsem pochopil. Ale připadá mi, že každý takový obrazec se dá poskládat "do výšky" z rovnoramenných lichoběžníků,
k nimž někdy ještě přibude jeden "vrcholový" rovnoramenný trojúhelník.

Freedy · 24. 07. 2013 17:16

Prijde mi, že kdyz jsou ty strany stejně dlouhé, tak to budou strany pravidelnyho mnohouhelniku

faiface · 24. 07. 2013 19:07

Freedy napsal(a):
Prijde mi, že kdyz jsou ty strany stejně dlouhé, tak to budou strany pravidelnyho mnohouhelniku

Nemusia byt, s pravidelnym n-uholnikom sa okrem rovnakych dlzok stran spaja aj jeden specificky uhol, ktory tieto strany zvieraju, pricom v mojej "ulohe" nemusia tieto strany vobec zvierat tento konkretny uhol (staci zmenit dlzku strany b a uhly su hned uplne ine).

faiface

Rumburak napsal(a):
Připadá mi, že každý takový obrazec se dá poskládat "do výšky" z rovnoramenných lichoběžníků,
k nimž někdy ještě přibude jeden "vrcholový" rovnoramenný trojúhelník.

Ospravedlnujem sa, ale toto som nepochopil...

martisek

↑ faiface:

Ahoj,

zadaný n-úhelník doplň na (n+1)-úhelník tak, že místo úhlů alfa naneseš beta/2. Dostaneš sjednocení n-1 rovnoramenných trojúhelníků s úhly při základně beta/2 a při hlavním vrcholu 180-beta. Z toho úhel beta snadno zjistíš.

faiface · 24. 07. 2013 20:20

↑ martisek:
Dakujem za odpoved. Toto je dobry napad, ale mohli by ste mi prosim presnejsie vysvetit, ako potom zistim ten uhol beta? Pretoze ak ho chcem zistit, musim zistit jednu vec: dlzku od jedneho bodu usecky b k vami popisanemu "stredovemu" bodu.

jarrro · 24. 07. 2013 21:59

zatiaľ len postreh že musí platiť
$2\alpha +$n-1$\beta =$n-1$\pi$

faiface · 24. 07. 2013 22:03

jarrro napsal(a):
zatiaľ len postreh že musí platiť
$2\alpha +$n-1$\beta =$n-1$\pi$

:D jop, presne tuto rovnicu mam napisanu od mojho prveho prispevku v notese. Len neviem najist druhu, v ktorej sa samozrejme musia pouzit hodnoty premennych a, b.

martisek · 24. 07. 2013 22:41

↑ faiface:

No, nápad možná dobrý, ale napsal jsem si to a bohužel to k ničemu nevede. Rovnice

$2\alpha +$n-1$\beta =$n-1$\pi$

je jasná, můj nápad vede na

$\beta - 2\alpha + (\pi - \beta)\cdot n = \pi$

což měla být druhá rovnice, ale není - je to totéž. Je potřeba nějak "zapojit" zadané délky, ale zatím nevím, jak. No, nic, budu přemýšlet.

faiface · 24. 07. 2013 22:47

↑ martisek:
Dakujem vam a vsetkym, ktory sa budete tymto problemom zaoberat, je to pre mna relativne dost dolezite.

martisek · 25. 07. 2013 00:33

↑ faiface:

Ještě jinak - jenom nápad, ale mělo by to být schůdné:

Rozřež to úsečkami rovnoběžnými s b na rovnoramenné lichoběžníky. Úhel při delší základně je v tom nejspodnějším alfa, nad ním $\beta -(\pi - \alpha)$ , potom (tuším) $2\beta -(2\pi - \alpha)$ atd. Podobně bude třeba zkracovat b. Při lichém n skončíš lichoběžníkem, který nakreslils pro n=3, při sudém zbude rovnoramenný trojúhelník. Místo alfa máš postupně zmenšující se úhel - to určitě půjde napsat jako posloupnost v závislosti na n tak, jak jsem naznačil. A místo b postupně se zkracující základnu. No a pak stačí vyřešit ten poslední lichoběžník resp. trojúhelník.

martisek · 25. 07. 2013 10:18

↑ faiface:

Ahoj,

ještě snad toto:

Takže druhá rovnice porovnáním pravých stran dvou ze tří barevných rovnic.

Máme dvě rovnice pro dvě neznámé, ale explicitní vyjádření alfa, beta asi bude trochu mazec...

Rumburak · 25. 07. 2013 10:25

↑ faiface:

Pokusím se vysvětlit to.

Máme úsečku $AB$ délky $b$ v roli jakési "základny" a zároveň lomenou čáru $AC_1C_2 ... C_kB$ , kde $k = n-1$ ,
při čemž každý z jejích "segmentů" $AC_1$ , $C_iC_{i+1}$ , $C_kB$ mají délku $a$ .

Z dalších podmínek o velikostech úhlů vyplývá, že $ABC_kC_1$ je rovnoramenný lichoběžník, který tvoří jakési "přízemí"
celého (n+1)-úhelníku.

Pokud $k > 2$ , máme "nad přízemím" také "první patro", což bude opět rovnoramenný lichoběžník $C_1C_kC_{k-1}C_2$ v případě $k > 3$ ,
resp. rovnoramenný trojúhelník $C_1C_3C_2$ (se základnou $C_1C_3$ ) , pakliže $k = 3$ .

S rostoucím $k$ přibývají další takováto "patra".

Ale netvrdím, že tato cesta někam povede, je to jen takový postřeh.

Honzc · 25. 07. 2013 11:58 — Editoval Honzc (25. 07. 2013 15:07)

↑ faiface:
Ne příliš složitým odvozením se dá dostat toto:
$\beta =\pi -\frac{2\alpha }{n-1}$ (to už někdo lehce odvodil)
a
$b=a(n\;\text{mod}\;2)+2a\sum_{i=0}^{(n-2)\;div\;2}\cos \left(\frac{n-(2i+1)}{n-1}\alpha \right)$
Ovšem jak z toho dostat $\alpha$ to opravdu netuším.

Po editaci:
pro výpočet $\alpha$ by se snad dal nějak využít vzorec: ( při vhodných substitucích)
$\cos \varphi +\cos 2\varphi +\cos 3\varphi +...+\cos k\varphi=\frac{\sin \frac{k\varphi }{2}}{\sin \frac{\varphi }{2}}\cos (k+1)\frac{\varphi}{2}$

faiface · 25. 07. 2013 15:25

↑ Rumburak:
Uz rozumiem, ale nemyslim, ze takymto sposobom by sa dalo dopracovat k vysledku, pretoze nevieme, o kolko sa bude dlzka "b" zmensovat. A ak by sme to vedeli, tak by sme lahko vedeli vypocitat uhol alfa a potom aj uhol beta. Takze takto asi nie.

faiface · 25. 07. 2013 15:27

↑ Honzc:
Toto je na mna trochu moc :).

Honzc · 25. 07. 2013 18:56

↑ faiface:
No nicméně za použití posledního vztahu v mém minulém příspěvku se dá (i když to není žádný med) dospět k následujícímu vztahu:
$\frac{b}{a}=\frac{\sin \frac{n}{n-1}\alpha }{\sin \frac{1}{n-1}\alpha }$
A tuto rovnici snad vyřešit nějakou numerickoui metodou

martisek · 25. 07. 2013 21:56

↑ Honzc:

Můj postup, který jsem navrhl zde - ↑ martisek: - vede bohužel taky jen k numerickému řešení, takže se mu ↑ faiface: bohužel asi nevyhne...

faiface · 25. 07. 2013 22:01

↑ martisek:
Vsak ja chcem prave numericke riesenie, ale ja tie vzorce v sucasnom stave mojich vedomosti naozaj nie som schopny upravit na alfa = ... a beta = ...
:(

martisek · 25. 07. 2013 22:23

↑ faiface:

Právě že ani my ne :-) Pokud bychom toho byli schopni, byl by problém vyřešen a nenavrhujeme numerické řešení.

Numerické řešení spočívá v tom, že nemá žádné alfa = . Prostě řekni, kolik je a, b, n a já ti třeba z rovnice kolegy ↑ Honzc:

$\frac{b}{a}=\frac{\sin \frac{n}{n-1}\alpha }{\sin \frac{1}{n-1}\alpha }$

spočítám, kolik je alfa.

Matematické Fórum

#1 24. 07. 2013 15:48

Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#2 24. 07. 2013 16:44 — Editoval Rumburak (24. 07. 2013 16:49)

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#3 24. 07. 2013 16:48 — Editoval Freedy (24. 07. 2013 16:49)

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#4 24. 07. 2013 16:51 — Editoval faiface (24. 07. 2013 16:53)

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#5 24. 07. 2013 17:00

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#6 24. 07. 2013 17:07 — Editoval Rumburak (24. 07. 2013 17:10)

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#7 24. 07. 2013 17:16

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#8 24. 07. 2013 19:07

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

Freedy napsal(a):

#9 24. 07. 2013 19:16 — Editoval faiface (24. 07. 2013 19:17)

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

Rumburak napsal(a):

#10 24. 07. 2013 19:47 — Editoval martisek (24. 07. 2013 19:49)

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#11 24. 07. 2013 20:20

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#12 24. 07. 2013 21:59

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#13 24. 07. 2013 22:03

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

jarrro napsal(a):

#14 24. 07. 2013 22:41

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#15 24. 07. 2013 22:47

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#16 25. 07. 2013 00:33

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#17 25. 07. 2013 10:18

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#18 25. 07. 2013 10:25

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#19 25. 07. 2013 11:58 — Editoval Honzc (25. 07. 2013 15:07)

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#20 25. 07. 2013 15:25

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#21 25. 07. 2013 15:27

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#22 25. 07. 2013 18:56

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#23 25. 07. 2013 21:56

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#24 25. 07. 2013 22:01

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

#25 25. 07. 2013 22:23

Re: Geometricky problem s uhlami v mnohouholniku

Zápatí