Matematické Fórum

vanok · 25. 05. 2013 14:27

Tento krat tu davam, jedno trocha tazsie cvicenie.
No som si isty, ze sa bude pacit viacerym foristom.

Nech $d(n)$ oznacuje pocet vsetkych prirodzenych delitelov cisla $n$ ,
ich sucet oznacime $S_n$ ; $S_n =\sum_{k|n} d(k)$ .
Priklady:
$S_1=d(1)=1$
$S_5= \sum_{k|5} d(k)= d(1)+d(5)= 1+2=3$
$S_4=\sum_{k|4} d(k)= d(1)+d(2)+d(4)=1+2 +3=6$

A) dokazte, ze $S_{mn}=S_mS_n$ pre nesudelitelne $m;n$
B) urcite $n$ take, ze $S_n=n$

vanok · 26. 06. 2013 18:45

Cast A) je jednoducha, nikto si to nechce skusit?

Brano · 28. 07. 2013 11:50

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 28. 07. 2013 19:43 — Editoval vanok (28. 07. 2013 19:58)

Pozdravujem ↑ Brano:,
Este mame jedno riesenie: 36.
Zaujima ta aj moje podrobne riesenie?

Brano · 28. 07. 2013 23:29

Aha ano, ja som postupoval cez moznosti $2^k n$ pre $n$ neparne a preskusal som $k=0,1,3$ $k>3$ bolo uz lahke a $k=2$ som tak nejak odmavol rukou, ze tam uz nic nebude a predsa potvora :-)

Moje riesenie bolo dost zdlhave, aj ked nie velmi komplikovane - preto som ani poriadne nedokoncil, ani sa mi ho nechcelo pisat.

Ale zaujimalo by ma ci si tam mal nejaku inu myslienku, alebo ci to bolo v podstate to iste. Tak ho nemusis nutne napisat podrobne - staci naznak.

vanok · 29. 07. 2013 01:12 — Editoval vanok (29. 07. 2013 01:13)

ok, tak strucne:
Zda sa mi ze sme to robili velmi podobne ( no pridam nejake detaily)
Okamzite n=1 vyhovuje
Ak n=p (prvocislo), len p=3 vyhovuje
Pripad $n=p^k$ da ze riesenie nemoze existovat;
vdaka vysetreniu funkcie $f_p(x)=p^x-\frac {(x+1)(x+2)}2$
ktora je ostro rastuca pre $x=p \ge 3$
A jej studium pre $x=2$ a $k=1; 2; 3$ a pre $a \ge 4$ ukaze, ze nemoze byt nula, co ukaze ze hladana rovnost je nemozna v tomto pripade.

Pre $n=p_1^{k_1}...p_s^{k_s}$ sa lahko ukaze, ze je nemozne a vsetky $p_i$ boli $\ge 3$
preto riesenie musi byt formy $n=2^k .q$ ( q neparne )
A ani ja som velmi neformalizoval tento pripad...
a pri hladani riesenia som pouzil maximum tohto vyrazu $\frac{S_{p^k}}{p^k}=\frac{(k+1)(k+2)}{2p^k}$