Matematické Fórum

N3st4 · 02. 08. 2013 12:29

Ahoj. Neviem ako by som dokázal nasledujúce, a preto prosím o radu.

Majme nejakú topológiu. Ako by som ukázal, že dve množiny z tej topológie sú homeomorfné.
Ak by to nešlo všeobecne, stačilo by aj na $\mathbb{R}^{n}$ so štandardnou topológiou.

Ďakujem.

Brano · 02. 08. 2013 14:31

Vseobecne to urcite neplati. Vezmi si napr. $X$ s aspon 2 prvkami a topologia nech je diskretna. Potom si mozes zobrat otvorenu $\{x\}$ ktora urcite nie je homeomorfna s $X$ , lebo nemaju rovnaky pocet prvkov.

Pre $R^n$ to tiez neplati. Zober si napr. $A$ - jednotkovu gulu so stredom v 0 a $B$ - jednotkovu gulu so stredom v 2. Potom $A$ nie je homeomorfna s $A\cup B$ , napriek tomu, ze su obe otvorene. To je zrejme z toho, ze $A$ je suvisla a $A\cup B$ nie je.

N3st4 · 02. 08. 2013 14:43

Dobre, to sedí. A keby sme trochu pritvrdili s prekpokladmi:
Nech ten topologický priestor je Haussdorfov a má spoč bázu pre topológiu. A chcem zistiť či dve rôzne súvislé množiny sú homeomorfné?

A spoč. báza tam asi nehrá žiadnu úlohu ... len je k dispozícii v mojom priestore.

Brano · 02. 08. 2013 14:53 — Editoval Brano (02. 08. 2013 14:53)

nestaci .. v $R^n$ pre $n\ge 2$ mozes zobrat

$A=B(0,2)$ $B=B(0,2)\setminus\overline{B(0,1)}$

obe otvorene a suvisle ale A je jednoducho suvisla a B nie je; resp A ma suvislu hranicu a B nema.

Myslim, ze by mohlo platit: Ak $A,B\subseteq R^n$ su konvexne a otvorene potom su homeomorfne.

chces dokaz?

N3st4 · 02. 08. 2013 15:02

Dôkaz by sa hodil. Ešte by som rád vedel či konvexnosť sa dá povedať topologicky inak ako spojnica dvoch bodov (úsečka) ležiaca v tej danej množine.

Brano · 02. 08. 2013 15:08

neviem o ziadnej topologickej verzii spojitosti. mal som na mysli tu analyticku verziu ... spojnica dvoch bodov lezi cela v mnozine.

myslienka je ukazat homeomorfnost tej mnoziny s nejakou gulou. postupoval by som tak, ze si vyberies vnutorny bod a gulu, co je cela v tej mnozine a potom si nakreslis luce vychadzajuce z toho bodu - a ten homeomorfizmus by malo byt zobrazenie, co scucne ten vacsi luc (az po bod kde sa pretne shranicou mnoziny) do mensieho (po bod kde sa pretne s granicou tej malej gule)

trochu by tu mohli robit problem neohranicene mnoziny, ale myslim, ze sa to tam nepokazi.

N3st4 · 02. 08. 2013 15:17 — Editoval N3st4 (02. 08. 2013 15:25)

Aha. Presne nad týmto som rozmýšľal a nevychádzalo mi to kvôli tej konvexnosti. Teraz, keď ju máme zabezpečenú, tak to sedí. A keby sme sa skúsili zamyslieť ešte nad niečím iným.

Máme množinu - nekonvexnú mláku. Ohraničenie tej množiny (nie hranica, tá je prázdna) je nejaká elastická slučka. Vyberieme v tej množine bod z vnútra + kruh (presne tak ako si to opisoval ty). No a teraz pojem homeomorfnosti je presne naťahovanie a stláčanie. Takže tú elastickú slučku by som mal byť schopný "slušne" poskladať na kruh. Nie je tak?

Brano · 02. 08. 2013 17:36

trosku nechapem tu poznamku s hranicou.

v $R^n$ su iba dve mnoziny co maju prazdnu hranicu a to $R^n$ a $\emptyset$ .

Cize ak teda v $R^2$ uvazujes mnoziny s hranicou co je uzavreta krivka co nepretina sama seba, tak by to malo prejst. Dokonca by to mohlo prejst aj pre jednoducho suvisle otvorene mnoziny. V $R^3$ jednoducha suvislost asi nebude stacit, ale mozno by sa dalo pozerat na to ci je jej druha homotopicka grupa trivialna. Ale s tymto ti uz moc nepomozem, lebo algebraicku topologiu neovladam.

N3st4 · 02. 08. 2013 18:30

Okay. Idem sa s tým pohrať. To s tou hranicou som myslel tak, že množinu A v $\mathbb{R}^{n}$ môžeš napísať ako: $A=Int(A)\cup \partial A$ , teda vnútro + hranica. No a množina A je otv.: $A=A\setminus \partial A=Int(A)$ , a to som myslel tým, že hranica je prázdna, že nepatrí tej množine.

Brano · 03. 08. 2013 00:08

↑ N3st4:
ok - to bolo trochu mimo :-)

1) $A=Int(A)\cup \partial A$ plati iba pre uzavrete mnoziny

2) vyjadrenie, ze nepatri mnozine (spravne by to malo byt, ze "disjunktna s mnozinou") nie je to iste, ze je hranica prazdna. Prazdna hranica znamena $\partial A=\emptyset$ .

3) to nie je nejaka vycitka, len je dobre sa vyjadrovat v ramci zauzivanych noriem, aby aj ostatnym bolo jasne, o com je rec.

N3st4 · 03. 08. 2013 00:14

Chápem. Moja chyba. Nabudúce to spíšem lepšie.

Rumburak · 05. 08. 2013 09:45

↑ N3st4:
Ahoj.

Abychom mohli konvexnost popsat ryze topologicky, potřebovali bychom ryze topologicky popsat pojem úsečky,
což si neumím dost dobře představit.

K definici úsečky obvykle využíváme srukturu lineárního prostoru.

Pomocí metriky bychom mohli definovat úsečku jako nejkratší "spojnici" dvou bodů, avšak v obecném metrickém prostoru
by byl asi problém s existencí i s jednoznačností.

Matematické Fórum

#1 02. 08. 2013 12:29

Homeomorfizmus otv. mn.

#2 02. 08. 2013 14:31

Re: Homeomorfizmus otv. mn.

#3 02. 08. 2013 14:43

Re: Homeomorfizmus otv. mn.

#4 02. 08. 2013 14:53 — Editoval Brano (02. 08. 2013 14:53)

Re: Homeomorfizmus otv. mn.

#5 02. 08. 2013 15:02

Re: Homeomorfizmus otv. mn.

#6 02. 08. 2013 15:08

Re: Homeomorfizmus otv. mn.

#7 02. 08. 2013 15:17 — Editoval N3st4 (02. 08. 2013 15:25)

Re: Homeomorfizmus otv. mn.

#8 02. 08. 2013 17:36

Re: Homeomorfizmus otv. mn.

#9 02. 08. 2013 18:30

Re: Homeomorfizmus otv. mn.

#10 03. 08. 2013 00:08

Re: Homeomorfizmus otv. mn.

#11 03. 08. 2013 00:14

Re: Homeomorfizmus otv. mn.

#12 05. 08. 2013 09:45

Re: Homeomorfizmus otv. mn.

Zápatí