Matematické Fórum

gadgetka · 28. 08. 2013 20:48

Prosím o pomoc s vysvětlením, proč je ve výsledku perioda jen $k\pi$ a ne $2k\pi$
$\sin(7\pi/4-x)=\sqrt{2} \cos(3\pi/2-x)$

Řešila jsem to úpravou pomocí vzorců pro rozdíl argumentů goniometrické fce, což vedlo na rovnici $\sin{x}=\cos{x}$ . Zkouškou jsem došla k jedinému výsledku: $\frac{\pi}{4}$ .

Děkuji za pomoc.

zdenek1 · 28. 08. 2013 21:39

↑ gadgetka:
$\sin x=\cos x\qquad|:\cos x$
$\tan x=1$
$x=\frac\pi4+k\pi$ - tangens má periodu $k\pi$ .

gadgetka · 28. 08. 2013 21:45

↑ zdenek1:

Díky moc. A jak to zdůvodním, když obě strany rovnice umocním na druhou? ;)

Honzc · 29. 08. 2013 06:20 — Editoval Honzc (29. 08. 2013 06:24)

↑ zdenek1:
Zdravím,
jenom taková malá oprava (asi překlep)
tangens nemá periodu $k\pi$ , ale $\pi$
↑ gadgetka:
Pokud obě strany umocníš na druhou, pak po úpravě dostaeš rovnici
$\sin x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
Z toho budou v intervalu $<0,2\pi )$ 4 řešení ( $\frac{\pi }{4},\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi,\frac{7}{4}\pi$ ).
Protože jsi však provedla neekvivalentní úpravu (umocňování), je třeba udělat zkoušku.
Pak zbydou pouze 2 řešení a to: $\frac{\pi }{4},\frac{5}{4}\pi$
a tedy $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$
Jinak velmi pěkně je to vidět na jednotkové kružnici (I.kvadrant +,+, III.kvadrant -,-)

gadgetka · 29. 08. 2013 13:10

↑ Honzc:
Moc děkuji za vysvětlení a přiznám se, s jednotkovou kružnicí neumím doteď pracovat a vůbec si nevzpomínám, že bychom se to na škole učili... asi jsem zrovna chyběla... :D ;)

Matematické Fórum

#1 28. 08. 2013 20:48

Goniometrická rovnice - perioda

#2 28. 08. 2013 21:39

Re: Goniometrická rovnice - perioda

#3 28. 08. 2013 21:45

Re: Goniometrická rovnice - perioda

#4 29. 08. 2013 06:20 — Editoval Honzc (29. 08. 2013 06:24)

Re: Goniometrická rovnice - perioda

#5 29. 08. 2013 13:10

Re: Goniometrická rovnice - perioda

Zápatí