Matematické Fórum

jajiq · 04. 09. 2013 10:20

Ahoj, zas se obracím na vás, můžete mi někdo zkontrolovat tenhle příklad? Nejsem si u něj moc jistá:

Student udělá během studia na VŠ 56 zkoušek. Během prvního roku dělá zkoušky tak že rozdělení pravděpodobnosti dosažených známek bylo:
Známka: 1 2 3
Pravděpodobnost: 0,2 0,4 0,4

Jaká je pravděpodobnost, že bude-li skládat zkoušky podobně úspěšně, bude mít na konci studia průměr menší než 2? Řešte CLV.

Vyšlo mi: $EX=2,2 ; var(X)=24,32$

$P(X<2)=\Phi \frac{2-2,2}{\sqrt{24,32}}=1-\Phi 0,04=0,49405$

Můžete na to někdo mrknout prosím? Trochu mě mate že v zadání je 56 zkoušek?? nemá se s tím někde taky počítat??

Geronimo · 04. 09. 2013 10:25

Ty mas pocitat $P\left( \frac{1}{56} \sum_{n=1}^{56} X_n < 2 \right)$ .

jajiq · 04. 09. 2013 10:41

↑ Geronimo:

a kolik je prosím EX, a var(X).... ??? moc tomu nerozumím..

Geronimo · 04. 09. 2013 10:53

Plati $E\left( aX+bY \right)=aEX+bEY$ a pro nezavisle veliciny $D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY$ .

Pocitejme tedy $E\overline{X}$ a $D\overline{X}$ .

$E\overline{X}=E\left( \frac{1}{56} \sum_{n=1}^{56} X_n \right)=\frac{1}{56} \sum_{n=1}^{56} EX_n = \frac{1}{56} \sum_{n=1}^{56} 2,2 =\frac{1}{56} \cdot 56 \cdot 2,2 = 2,2$

$D\overline{X}=D\left( \frac{1}{56} \sum_{n=1}^{56} X_n \right)=\frac{1}{56^2} \sum_{n=1}^{56} DX_n=\frac{1}{56^2} \sum_{n=1}^{56} 24,32 = \frac{1}{56^2} \cdot 56 \cdot 24,32 = 0,43$

Stýv · 04. 09. 2013 10:58

známka z jedný zkoušky určitě nemá rozptyl 24,32

jajiq · 04. 09. 2013 11:03

↑ Stýv:

ano, zdálo se mi to divný :D děkuji

jajiq · 04. 09. 2013 11:38

↑ Geronimo:

a co když počítám podle:

$EX= \sum_{x=i}^{n} x_{i}*P(X=x_{i}) = 1*0.2+2*0.4+3*0.4=2.2$

a

$var(X)=EX^2- (EX)^2 = 1^2*0.2+2^2*0.4+3^2*0.4 - (2.2^2) = 0.56$

jaktože takhle vychází rozptyl jinak? takhle se to nedá počítat???

Geronimo · 04. 09. 2013 11:46

↑ jajiq:
Ano, timto zpusobem si spocitas rozdeleni $X_n$ a na zaklade toho potom pocitas rozdeleni prumeru $\overline{X}$ .

jajiq · 04. 09. 2013 11:53

↑ Geronimo:

takže $P(X<2)= \Phi \frac{2-2,2}{\sqrt{0,56}}=1-\Phi 0,27\doteq 0,39$

Jj · 04. 09. 2013 12:19

↑ jajiq:

Zdravím, zdá se mi, že se nějak vytratila centrální limitní věta?

jajiq · 04. 09. 2013 12:33

↑ Jj:

tak jak myslite že se to má vyřešit??? už se v tom ztrácím :(

Geronimo

↑ jajiq:

Vidim, ze jsme se nepochopili.

Nahodna velicina $X$ udava znamku z jedne zkousky. Ma stredni hodnotu $EX=2,2$ a rozptyl $DX=0,56$ , jak uvadis v predchozim prispevku.

Tvym ukolem je ale vypocitat pravdepodobnost, ze prumer bude mensi jak 2. Prumer je jina nahodna velicina a ma jinou stredni hodnotu a rozptyl. Pro prumer plati jiz vzpominany vztah $\overline{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ , takze kdyz znas rozdeleni $X_i$ , tak muzes dopocitat rozdeleni $\overline{X}$ .

Konkretne to udelas zpusobem, ktery jsem uvedl ve 4. prispevku, akorat u vypoctu rozptylu uprav hodnotu $DX_n$ . Pouzil jsem predchozi - spatnou - hodnotu.

Protoze prumer vznikne souctem 'velkeho mnozstvi' nezavislych nahodnych velicin, ma podle CLV normalni rozdeleni.

jajiq · 04. 09. 2013 13:37

↑ Geronimo:

takže ještě trochu jinak:

$P(X<56*2)=\Phi \frac{112-56*2,2}{\sqrt{56*0,56}}=1-0,97725$

to jde taky ne? pro mě o něco jednodušší....

Geronimo

↑ jajiq:

Ne, to neni spravna uvaha, tudiz ani postup.

$P(X<56*2) \not=P\left( \frac{1}{56} \sum_{n=1}^{56} X_n < 2 \right)$

Dodam jeste, ze nahodna velicina $X$ nema normalni rozdeleni, takze nelze pouzit distribucni funkci normalniho rozdeleni $\Phi$ . Prumer uz podle CLV normlani rozdeleni ma.

jajiq · 04. 09. 2013 14:43

↑ Geronimo:

mohla bych tedy poprosit o konečný výsledek ještě a už nebudu otravovat.

Děkuji mnohokrát

Geronimo

Myslim, ze nejlepsi bude si to cele projit.

Oznacme $X_i$ nahodnou velicinu, ktera udava znamku dosazenou v $i$ -tem predmetu $(i=1,2,\dots,56)$ . Tato nahodna velicina se ridi rozdelenim, jez je dano tabulkou v zadani ulohy. Vypocitame si tedy stredni hodnotu a rozptyl, tedy podle tvych vypoctu $EX_i=2,2$ a $DX_i=0,56$ . Upozornuji, ze tato velicina nema normalni rozdeleni.

Podle zadani ulohy mame vypocitat $P\left( \frac{1}{56} \sum_{i=1}^{56} X_i < 2 \right)$ .

Jelikoz je prumer souctem nezavislych nahodnych velicin se stejnym rozdelenim pravdepodobnosti, bude podle CLV konvergovat pro velke $n$ (v nasem pripade 56) k normalnimu rozdeleni. Bohuzel nevime, jake parametry toto rozdeleni bude mit, ale nevadi, muzeme si to spocitat.

$E\overline{X}=E\left( \frac{1}{56} \sum_{i=1}^{56} X_i \right)=\frac{1}{56} \sum_{i=1}^{56} EX_i = \frac{1}{56} \sum_{i=1}^{56} 2,2 =\frac{1}{56} \cdot 56 \cdot 2,2 = 2,2$
$D\overline{X}=D\left( \frac{1}{56} \sum_{i=1}^{56} X_i \right)=\frac{1}{56^2} \sum_{i=1}^{56} DX_i=\frac{1}{56^2} \sum_{i=1}^{56} 0,56 = \frac{1}{56^2} \cdot 56 \cdot 0,56 = 0,01$

Takze celkem dostavame, ze $\overline{X} \sim N(2,2;0,01)$ .

Odsud uz je to jednoduche.

$P \left( \overline{X} < 2 \right) = P \left( \frac{\overline{X}-2,2}{0,1} < \frac{2-2,2}{0,1} \right) = P \left( U < -2 \right)$ ,

kde $U \sim N(0;1)$ .

Nakonec $P \left( \overline{X} < 2 \right) = 1 - \Phi (2) = 1 - 0,9772 = 0,0228$ .