Matematické Fórum

bobik · 15. 01. 2009 17:14

Chcel by som sa opýtať čomu sa rovná mohutnosť množiny E - Q (počet prvkov množiny E-Q)
$\overline{\overline{E - Q}} = ?$
ak viem, že
$\overline{\overline{ExE}} = \overline{\overline{E}}.\overline{\overline{E}} = c.c=2^{\sigma}.2^{\sigma} = 2^{\sigma} = c$ , kde c je mohutnosť kontinua alebo aj mohutnosť všetkých podmnožín množiny prirodzených čísel a $\sigma$ je mohutnosť prirodzených čísel inak povedané $\overline{\overline{N}} = \sigma$ a tiež viem, že $\overline{\overline{E}}=c$

Kondr · 15. 01. 2009 20:08

Množina E-Q má stejou mohutnost jako E, odečtení Q nemůže mít vliv na mohutnost. Odpověď je proto c. Jenom dotaz: E je nějaká konkrétní množina? Q jsou racionální čísla? My jsmeve škole symbolem $\mathbb{Q}$ znčili racionální čísla a $\mathbb{E}_n$ je n-rozměrný Euklidovský prostor, ale konvence mohou být různé.

Lishaak · 15. 01. 2009 20:26

Kondr napsal(a):
Množina E-Q má stejou mohutnost jako E, odečtení Q nemůže mít vliv na mohutnost.

Dukaz?

Tohle jsem sem chtel taky napsat, ale uvedomil jsem si, ze neumim kardinalni aritmetiku natolik, abych svoji intuici podlozil nejakym argumentem.

musixx · 16. 01. 2009 08:53

↑ Lishaak: ↑ Kondr: Nejak si neuvedomuju, ze E by bylo standardni znaceni neceho. Jako Q si myslim, ze by racionalni cisla byt znacena mela. Takze podle mne ma Kondr pravdu za predpokladu $c=\mathrm{card}(E)>\mathrm{card}({\mathbb Q})$ . Samozrejme vsechny prvky z $\mathbb Q$ nemusi byt v E, ale to nevadi, protoze $\aleph_0$ je nejmensi kardinalni cislo, nikoli pouze minimalni, a mame pohlcovaci zakony (takze je videt, ze kdyby $E\setminus\mathbb Q$ mela mensi kardinalitu nez E sama, tak sjednoceni s jakoukoli podmnozinou z $\mathbb Q$ to uz nezachrani - jak pise Kondr).

Ovsem muze byt klidne $E\setminus\mathbb Q$ konecna i spocetna. Zalezi na E ( $E={\mathbb Q}\cup\{a\}$ , resp. $E=\{\{a\}\ |\ a\in{\mathbb Q}\}$ ).

bobik · 16. 01. 2009 12:35

↑ Kondr: pre porozumenie E su realne cisla mozme ich oznacit aj $\mathbb R$ a $\mathbb Q$ su racionalne cisla a $\sigma = \aleph_0$ nevedel

som pre toto syntax

takze odpoved je ze $\overline{\overline{E - Q}} = c$ a vysvetlenie je

Kondr napsal(a):
Množina E-Q má stejou mohutnost jako E, odečtení Q nemůže mít vliv na

mohutnost.

je to správne?

musixx · 16. 01. 2009 13:04 — Editoval musixx (16. 01. 2009 13:26)

↑ bobik: Budu-li pouzivat standardni znaceni, napsal bych:

1. Je ${\mathbb Q}\subseteq\mathbb R$ .

2. Je $\mathrm{card}({\mathbb R})=c$ a $\mathrm{card}({\mathbb Q})=\aleph_0$ .

3. Je $\mathrm{card}({\mathbb R}\setminus{\mathbb Q})\leq\mathrm{card}({\mathbb R})$ .

4. Kdyby $\mathrm{card}({\mathbb R}\setminus{\mathbb Q})$ byla mensi nez $c$ , pak by z pohlcovacich zakonu, nekonecnosti mnoziny ${\mathbb R}\setminus{\mathbb Q}$ (tedy jeji kardinalita je alespon $\aleph_0$ ) a faktu ${\mathbb R}=({\mathbb R}\setminus{\mathbb Q})\cup\mathbb Q$ bylo $c=\mathrm{card}({\mathbb R})={\rm max}\left(\mathrm{card}({\mathbb R}\setminus{\mathbb Q}),\ \mathrm{card}({\mathbb Q})\right)=\mathrm{card}({\mathbb R}\setminus{\mathbb Q})<c$ , coz je spor.

Proto je $\mathrm{card}({\mathbb R}\setminus{\mathbb Q})=c$ (ostra nerovnost je totiz pouze zkratka za usporadani "mensi rovno" a "nerovno").

Lishaak · 16. 01. 2009 14:34

Muzu se zeptat, co presne je pohlcovaci zakon?

musixx · 16. 01. 2009 14:58 — Editoval musixx (16. 01. 2009 15:00)

↑ Lishaak: Soucin, resp. soucet dvou nekonecnych kardinalnich cisel, je roven vetsimu z nich.

EDIT: doplneno nekonecnych

Lishaak · 16. 01. 2009 15:04

musixx napsal(a):
EDIT: doplneno nekonecnych

Copak ony jsou snad nejake konecne kardinaly?

musixx · 16. 01. 2009 15:05

↑ Lishaak: Mohutnost mnoziny $\{1\}$ ?

Lishaak · 16. 01. 2009 15:07

Aha, moje blbost, ze si pod kardinalnima cislama predstavuju jen ta transcedentni.

bobik · 17. 01. 2009 22:32 — Editoval bobik (17. 01. 2009 22:35)

nevedel som ze $card({\mathbb Q}) = \aleph_0$

dakujem za pomoc,

bobik · 18. 01. 2009 11:18

Ahojte mam tu este takyto priklad ku kardinalnym cislam,
pomocou Cantorovej-Bernstaeinovej vety, ukaz ze $card(A) = card(B)$ ak
$A=\{[x,y] \in{\mathbb R}^2;x^2+y^2\le1\}, B=\{[x,y] \in{\mathbb R}^2;x^2+y^2<2\}$

C-B veta hovori, ze $card(A) = card(B) <=>card(A)\le card(B) & card(B) \le card(A)$
postupujem tak, ze urcim ktora mnozina je inkluzia druhej t.j. $B\supseteq A$ potom $card(A) \le card(B)$ a teda urcim uz len $card(B) \le card(A)$ , t.j. hladam proste zobrazenie ozn. f $f:A->B$ . No a tu sa vzdy zaseknem, neviem najst take proste zobrazenie

Pavel Brožek

↑ bobik:

Moc tuhle látku neovládám, ale neměl bys spíš hledat prosté zobrazení $f:B\rightarrow A$ nebo zobrazení na $f:A\rightarrow B$ ?

To prosté zobrazení $f:B\rightarrow A$ by pak mohlo být například

$f(x,y)=(\frac x{\sqrt2},\frac y{\sqrt2})$

(Ale je možné, že látce nerozumím a to co jsem napsal není dobře.)

bobik · 18. 01. 2009 11:47

hej treba hladat proste zobrazenie $f:B\rightarrow A$ tam som mal preklep dakujem za upozornenie, prejdem si tvoje riesenie ale celkom neviem ako si prisiel k tej funkcii, zmenilo by sa nieco keby bola mnozina B definovana
$B=\{[x,y]\in{\mathbb%20R}^2;x^2+y^2\le3\}$ ?
potom by bola $f(x,y)=(\frac x{\sqrt3},\frac y{\sqrt3})$ ?

Pavel Brožek · 18. 01. 2009 11:49

Třeba, ale může být i $f(x,y)=(\frac x{50},\frac y{50})$ , jde o to, aby se větší kruh zobrazil dovnitř toho menšího kruhu.

bobik · 18. 01. 2009 11:53

hej to mi je jasne, len som to nevedel najst, tak toto asi bude dobre dakujem

bobik · 18. 01. 2009 12:09

vedeli by ste mi niekto dokazat ze a.b=b.a ak a=card(A) a b=card(B), pricom card(AxB)=a.b?

Kondr · 18. 01. 2009 12:44

↑ bobik:Chceme ukázat, že existuje bijekce f mezi AxB a BxA. Tu ale najdeme snadno:
f((x,y))=(y,x).

bobik · 18. 01. 2009 13:19 — Editoval bobik (18. 01. 2009 13:24)

↑ Kondr:
takze by to mohlo vyzerat nejak takto:

potrebujem najst proste zobraznie mnoziny AxB na mnozinu BxA. Nech $u \in AxB$ potom $\exists a\in A,b \in B, u=[a,b]$
t.j. $f(u) = f([a,b]) \in AxB$

Zobrazenie $\varphi \in BxA$ definujem takto nech $a \in A, b \in B$ zobrazenie $\varphi([b,a]) \in BxA$

Zobrazenie $F(f) = \varphi$ je potom hladane proste zobrazenie mnoziny AxB na mnozinu BxA

alebo staci iba

potrebujem najst proste zobraznie mnoziny AxB na mnozinu BxA. Nech $u \in AxB$ potom $\exists a\in A,b \in B, u=[a,b]$ polozim $f(u) = [b,a] \in BxA$ a ukazem ze je to proste zobrazenie a na
nech $u,u' \in AxB, u=[a,b],u'=[a',b']$ , teda $a \ne a' \vee b \ne b'$ potom $[a,b] \ne [a',b']$ cize plati
$f(u) \ne f(u')$ f je teda proste

dalej ze je na >
nech $v \in BxA$ potom $\exists a \in A, b \in B$ , take ze v=[b,a].
Potom $[a,b] \in AxB ,f([a,b])=v$

Kondr · 18. 01. 2009 16:48

Stačí to co je za tím "alebo staci iba" :)

bobik · 18. 01. 2009 21:28

ešte mám jednu otázku.
Mám napísať primitívny interval $J \ne {\mathbb Q}$ v $({\mathbb Q}, \le)$ taký že nie je úsekom ${\mathbb Q}$

definície

Nech A je LUM a $J \subseteq A$ . J sa nazýva primitívny interval množiny A, ak platí
$(\forall {x} \in J)(\forall {y} \in A) (y<x => y \in J)$

úsek množiny A určený prvkom $a$ je množina $A_a = \{x \in A, x<a\}$

bobik · 23. 01. 2009 14:59 — Editoval bobik (23. 01. 2009 15:04)

Aká je mohutnosť všetkých neklesajúcich postupností prirodzených čísel?

viem, tam uviesť, že množina všetkých neklesajúcich postupností je menšia ako množina všetkých postupností prirodzených čísel.
čo je $card(\mathbb{N}^{\mathbb{N}}) = \aleph_0^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}=c$ teda mohutnosť všetkých neklesajúcich postupností by nemala byť väčšia (zrejme rovnaká) ale ako to tam uviesť, to neviem

musixx · 23. 01. 2009 15:40

↑ bobik: Vsech posloupnosti prirozenych cisel je 'c'. Vsech neklesajicich je alespon tolik jako je vsech rostoucich. Vsech rostoucich je alespon tolik jako je vsech rostoucich takovych, ze kazde dva po sobe jdouci cleny posloupnosti se lisi maximalne o 10. Kdyz z kazde takove posloupnosti $\{a_n\}$ vytvorim $\{a_n-a_{n-1}-1\}$ , tak to mohu interpretovat jako desetinny rozvoj realneho cisla mezi 0 a 1. Kazde cislo tak obdrzim. Takze vsech takovych posloupnosti je aspon 'c'. A protoze je jich nejvyse 'c' (viz prvni veta), tak je jich presne 'c'.

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2009 17:14

kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#2 15. 01. 2009 20:08

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#3 15. 01. 2009 20:26

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

Kondr napsal(a):

#4 16. 01. 2009 08:53

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#5 16. 01. 2009 12:35

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

Kondr napsal(a):

#6 16. 01. 2009 13:04 — Editoval musixx (16. 01. 2009 13:26)

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#7 16. 01. 2009 14:34

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#8 16. 01. 2009 14:58 — Editoval musixx (16. 01. 2009 15:00)

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#9 16. 01. 2009 15:04

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

musixx napsal(a):

#10 16. 01. 2009 15:05

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#11 16. 01. 2009 15:07

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#12 17. 01. 2009 22:32 — Editoval bobik (17. 01. 2009 22:35)

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#13 18. 01. 2009 11:18

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#14 18. 01. 2009 11:35 — Editoval BrozekP (18. 01. 2009 11:38)

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#15 18. 01. 2009 11:47

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#16 18. 01. 2009 11:49

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#17 18. 01. 2009 11:53

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#18 18. 01. 2009 12:09

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#19 18. 01. 2009 12:44

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#20 18. 01. 2009 13:19 — Editoval bobik (18. 01. 2009 13:24)

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#21 18. 01. 2009 16:48

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#22 18. 01. 2009 21:28

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#23 23. 01. 2009 14:59 — Editoval bobik (23. 01. 2009 15:04)

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

#24 23. 01. 2009 15:40

Re: kardinálne čísla (mohutnosť množiny)

Zápatí