Matematické Fórum

Ahoj,
může v první rovnosti být ?:)

↑ Witiko:
Vždyť sudá odmocnina (jakožto reálná funkce) je nezáporná... A to je důvod, proč je to pouze polovina kulové plochy.

Ty dvě rovnice, které jsi uvedl, jsou sice ekvivalentní, ale jen za předpokladu, že (a ).

Ale mi přece nemluvíme o inverzní relaci k binární relaci sudé mocniny na množině . Podíváme-li se na sudou mocninu, pak inverzní relace není zobrazení, to máš pravdu. Abychom mohli mluvit o zobrazení, potřebujeme uvážit restrikci definičního oboru relace na nezáporná čísla.

Nechť je relace sudé mocniny.
Máme a . Jak jsi zdůvodnil, není funkce.
Ovšem uvážíme-li relaci , pak již funkce je a nazýváme ji (druhou) odmocninou. Samozřejmě jsme mohli vzít i jinou restrikci, ale tohle je to, co se implicitně předpokládá.

↑ Witiko:
Ale to je přece něco jiného. Ty hledáš, nejsou-li daná nějaká omezení, všechna reálná čísla, jejichž kvadrát je roven 4. Tím, že "odmocníš", se právě omezíš jen na tu restrikci. Naštěstí zde je náprava jednoduchá, protože víme, že druhá mocnina je sudá. A tedy, je-li , pak nutně i . Proto ta absolutní hodnota.

↑ Witiko:
Nejsem si jist, zdali tě úplně chápu, ale myslím, že jsi na správné cestě:)

Witiko napsal(a):

Zde tedy odmocninu zjevně chápeme jako obecnou relaci navracející dva kořeny.

to není pravda, aplikuje se obyčejná funkce, která z x^2 udělá |x| a z 4 udělá 2

↑ Witiko: nechci se pouštět do diskuse o tom, proč to tak je, u toho bych musel přemýšlet. jenom konstatuju, jak to je, protože mi přijde, že jste to tu interpretovali nějak špatně

↑ Witiko: já ale říkám, že aplikujeme fci , tím dostaneme . až v dalším kroku se můžeme bavit o tom, jak jsme z toho dostali dvě hodnoty , ale to už nemá nic společnýho s tou odmocninou

↑ Witiko:
Ano, navrací jen kladný kořen, a to je v našem případě právě ten problém. Ale my nejsme troubové a víme, že řešení existuje ještě jedno, a to má u sebe jen mínus navíc. Pokud víš, že , co to znamená? Znamená to, že - tedy že se rovnají druhé mocniny nějakých dvou čísel. To znamená že jsou buď stejná, nebo opačná. Buď tedy platí , nebo platí . Co tím pádem platí určitě je . Tak proč to tak nezapsat? Neříká to nic jiného. Když ale napíšu , přijdu o jedno řešení.

Zkrátka a dobře, . Opačný případ ale tak jednoduchý není, a dá se psát , tím umocněním tady totiž ztratím informaci o znaménku x. Platí to pro všechna reálná čísla - díky té mocnině mám pod odmocninou vždy kladné číslo. Ale to ještě neznamená, že původní x bylo taky kladné.


Edit: ještě to zkusím jinak. Ta aplikace odmocniny na rovnici vytvoří rovnici . Zbytek už není aplikace funkce, ale tvoje úpravy. Které když děláš dobře, skončíš s absolutní hodnotou.

↑ Witiko:
Aha, tak to se bavíte o něčem úplně jiném než jsem myslel. Slovo relace jsem v zadání nikde neviděl.

Ale ať už se tu bude dít cokoli a ta formalizace dopadne jakkoli, troufám si tvrdit, že graf funkce v zadání bude pořád popisovat jen horní polovinu koule. Tak nevím k čemu to tu má vést. Budu to radši jen sledovat.