Matematické Fórum

cutrongxoay

Zdravim,
mam takove zadani
$M[1;-1]$
$y^2-4x+2y+9=0$
a ukolem je napsat rovnici tecny, ktere lze sestrojit z bodu M.
-------- -------- -------- -------- --------
Rovnici kuzelosecky jsem upravil do tvaru
$-4x+(y+1)^2+8=0$
$-4x+(y_0+1)(y+1)+8=0$

Problem je v tom, ze kdyz dosadim ten bod tak vyjdou jen cisla a ze je to rovno nule je blbost.
Jak mam prosim vas pokracovat dale ?

jelena · 29. 09. 2013 12:36 — Editoval jelena (29. 09. 2013 14:44)

Zdravím,

Ty předpokládáš, že bod M leží na kuželosečce (třeba překontrlovat a podle toho postupovat). Věřím, že po kontrole už problém s výpočtem nebudeš mít, jen pro seznámení s postupem od kolegů - hodně podrobně a kompletně tuto úlohu zpracovali na MatWiki. Kolegům děkuji.

Edit: opraveno "Kružnice" na "Kuželosečka".

zdenek1 · 29. 09. 2013 13:23

↑ cutrongxoay:
Je to tečna k parabole z vnějšího bodu. Ten tvůj vztah nebude fungovat. Ten platí jen pro bod dotyku a stejně ho máš špatně.
Postup:
a) předpokládáme tečnu ve tvaru
$y=kx+q$
Protože prochází bodem $M$ , musí platit
$-1=k+q\ \Rightarrow\ q=-k-1$
b) dosadíme $y$ do rovnice kuželosečky
$(kx+q)^2-4x+2(kx+q)+9=0$
a roznásobíme
Měl bys dostat
$k^2x^2+2(kq+k-2)x+q^2+2q+9=0$
Tato kvadratická rovnice musí mít diskriminant roven nule
$\frac D4=(kq+k-2)^2-k^2(q^2+2q+9)=0$
Opět roznásobíš a poupravuješ
c)
Měl bys dostat
$kq+2k^2+k-1=0$
dosadíš za $q$ a dopočítáš $k$

cutrongxoay · 29. 09. 2013 13:44

↑ zdenek1:
" Ten platí jen pro bod dotyku"...a proc teda jde resit tim samym zpusobem tecnu pro kruznici i kdyz neznam zadne tecne body? U te paraboly se to prave snazim zjistit a prevod do stredoveho tvaru neni jeho postup reseni?

$\frac{D}{4}$ Tohle znamena co prosim? Vidim poprve.. Ja diskriminant chapu jako $b^2-4ac$

jelena · 29. 09. 2013 14:42

↑ zdenek1:

Zdravím a děkuji,

omlouvám se - v příspěvku 2 mám na mysli kuželosečku obecně (v odkazu na MatWiki jste to také tak zpracovali, jen poslední případ je speciálně kružnice). Opravím v příspěvku - ne kružnice, ale kuželosečka. ještě se podívám na MatWiki na postup pro "vzorec tečny" - viz dotaz kolegy.

↑ cutrongxoay:

kolega Zdeněk to také tak chápe, když budeš dosazovat do Tvého vzorce a, b, c ze zápisu kvadratické rovnice, co vznikla, tak se objeví násobek 4 u každého členu, tak tu 4 vytýká.

vanok · 29. 09. 2013 15:16 — Editoval vanok (29. 09. 2013 15:16)

Poznamka:
Toto vedeli stredoskolaci v mnohych europskych zemiach aspon do 70 rokov minuleho storocia.
Parabola rovnici $y^2=2px$ ma v bode $M(x_1,y_1)$ dotycnicu rovnici: $yy_1-px-px_1=0$

Od kedy to uz skoro nikto nevie?

cutrongxoay · 29. 09. 2013 15:24

↑ vanok:
Zdravim,
my jsme teprve zacali u kruznice, ale s tim, ze jsem seminarnik, potrebuju vedet o neco vice, takze to berte jako samostudium. O jinych kuzeloseckach se prave chci dozvedet.

vanok · 29. 09. 2013 15:39

Ano, to je asi dost tazka uloha najst dobru literaturu na tu temu.
A po Sk ci Cz je to este komplikovanejsie.

Taka zaujimava tema je teorema od Dandelen-Guetelet. Velmi poucne!

cutrongxoay · 29. 09. 2013 15:57

↑ vanok:
Tak prominte, ze jsem dyslektik...za to hold nemuzu.

jelena · 29. 09. 2013 16:09

↑ cutrongxoay:

prosím, nevytvářej zbytečné problémy. To se vyjasní. Kolega vanok má neskutečný přehled, doporučuji pomalu postudovat. Z čeho, prosím, studuješ? Děkuji.

↑ vanok:

Zdravím,

nemyslím, že by kolega měl problém s materiály (případně to upřesní, uvede, z čeho studuje, doplníme). V ČR nejlepší učebnice je sada pro Gymnázia a Přehled SŠ matematiky od Poláka - věřím, že v semináři bylo doporučeno.

Můj názor - pokud rozumím principu vzájemné polohy kuželosečky a přímky (jeden společný bod), potom cesta kolegy ↑ zdenek1: (a více nás to používá) prokazuje, že problému rozumím.
Více mechanické je použití hotového vzorce - předpokládám, že se využívá vlastnost poláry. Je tak?

Další cesta je využití diferenciálního počtu - kolega pravděpodobně ještě k tomu nedošel, ale časem určitě metody shrne. Je to obdobné téma debaty, jak jsme řešili - že je více metod.

Můžeme se takto dívat? Děkuji.

vanok · 29. 09. 2013 17:55 — Editoval vanok (29. 09. 2013 17:57)

↑ jelena:
Pozdravujem,
Tie materialy co radis kolegovy nepoznam, ale iste ide o dobre knihy.
V dobe o ktorej pisem, v mojom prispevku: zaklady o kuzelozeckach sa ucili bez diferencianelho poctu, a pouzivali sa potom metody blizke prispevku kolegu ↑ zdenek1: ... Ci su na to zvyknuty dnes stredoskolaci, to neviem posudit. A pochopitelne specialne, na polozeny problem, je viac moznosti na jeho riesenie.

Problem co som radil kolegovy, na konci mohol prispevku je bonus o kuzelozeckach a oplati sa kazdemu pozriet o co ide.

Peknu nedelu.

Cheop · 30. 09. 2013 11:25 — Editoval Cheop (30. 09. 2013 12:21)

↑ cutrongxoay:
Máme-li parabolu ve tvaru:
$(y-n)^2=2p(x-m)$ kde m, n jsou souřadnice vrcholu paraboly
a vnější bod paraboly o souřadnicích x_0; y_0,kterým má procházet tečna, potom
pro přímku, která prochází tečnými body platí:
$(y-n)(y_0-n)=p(x-m)+p(x_0-m)$
Průsečík této přímky a paraboly nám dá souřadnice tečných bodů.
Tečna je potom přímka,která prochází vnějším bodem a tečným bodem

vanok · 30. 09. 2013 11:34

Ahoj ↑ Cheop:,
Vidim, ze pouzivas pristup ako ten, co som navrhol.
Uci sa to este ?

Cheop · 30. 09. 2013 11:46

↑ vanok:
Zdravím, to opravdu nevím zda se to učí
My jsme se to na gymplu cca v roce 1973 učili.

jelena · 01. 10. 2013 10:12

Zdravím, kolegové,

doplním jak bylo u nás na Východě, SŠ jsem končila v roce 1980, měli jsme 8 let ZŠ s výstupní zkouškou + 2 roky SŠ s maturitní zkouškou (celkem je to 10 let všeobecně vzdělávací střední škola bez přestupu na jinou).

Analytiku jsme v tomto programu neměli, až na VŠ v 1. ročníku, jen základy vektorů byly zařazeny na SŠ do geometrie (samostatný předmět). Ještě jsme měli předmět "Algebra a základy analýzy". Tipuji, že zde jsme mohli mít i kuželosečky jako funkce a vzájemné polohy s přímkou jako průsečík funkcí (tedy 1. metoda kolegy Zdeňka). Potom na VŠ jsme měli vzorec pro tečnu kuželosečky ve tvaru jak uvádí kolega Cheop, ale pro bod na kuželosečce.

V Eliášovi pro VŠ jsem takové vzorce, jak povídáte, našla (i v Bartsch). Všimnete si komentáře v bodu 6 - zda zde nevzniká nedorozumění, že vzorec se téměř výhradně používá pro bod na kuželosečce. Také si všimnete reakce kolegy Zdeňka (a moji), že vylučujeme použití vzorce pro bod mimo kuželosečku. Teď by bylo dobré, aby kolega ↑ cutrongxoay: doplnil jak je to se vzorcem u nich.

Prošla jsem Poláka z roku 1972, tam o poláře jsem nic nenašla, z elektronické učebnice pana Krynického - u kružnice poláru a postup běžně používá, ale u paraboly zamítá (viz př. 5).

Na MatWiki od kolegy Cheopa je to 2. postup. Jelikož na tento postup se hodně odkazujeme, možna by stalo za to přidat komentář o vlastnosti, která se využívá (o poláře) a také přidat postup nebo komentář i pro jinou kuželosečku, než kružnici. Nevím tedy, kde došlo k "vynechání informace".

Ale výzkum jsem včera večer provedla (proloženo dohledem nad slohovkou, referátem a přepisem Čtenářského deníku :-)) Nevíte, prosím, kdo je to ten OcDr. od kterého mám Eliase? Děkuji.

vanok · 01. 10. 2013 16:24

↑ jelena:
Pozdravujem,
Zaujimavy prispevok a popisuje ako si sa dostala ku kuzeloseckam.
Dufam ze si mala cas a si nieco nasla o teoreme co som naznacil tu ↑ vanok: uplne na konci.
Ide (o pekny dokaz) o suvis slova kuzelosecka a z tym co sa uci ( ucilo?) na skolach.
Akoze ide o zaujimavu temu... Otvaram preto novu diskuziu na temu:co viete o kuzelozeckach?

jelena · 01. 10. 2013 22:40 — Editoval jelena (01. 10. 2013 23:38)

↑ vanok:

Zdravím,

ano, děkuji, přiznám se, že větu jsem neznala - našla jsem po Tvém uvedení tento materiál. I když náš kolega Peta8 je skeptický vůči diplomkám v rámci didaktik, věřím, že toto je nejlepší prostředí, kde mohou vznikat.

O kuželosečkách se zkusím rozvzpomenout, ale už se mi to dost míchá - co bylo na škole a co jsem se přiučila během časů, co jsem doučovala.

Ještě bych se rada zeptala kolegy Zdeňka, jako zkušeného metodika, jak se stalo, že tato metoda, kterou diskutujeme, je neřeknu, že vyloučena, ale silně zastíněna? Vždyť se ukazuje, že je více pohodlná v použití - je tak? Vzpomínám (zkusím i najít), že jsme upravovali výraz, co nám vznik metodou $y=kx+q$ a bylo to trápení.

Edit: trápení bylo moje, kolega Zdeněk problém neměl :-)

Cheop · 02. 10. 2013 08:26 — Editoval Cheop (02. 10. 2013 14:59)

↑ jelena:
Zdravím:-)
Tak abychom to uzavřeli.
Rovnice tečen ke kuželosečkám z vnějšího bodu kuželosečky pomocí poláry.
Kružnice
Mějme:
1) kružnici ve tvaru $(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$ a vnější bod $X[x_0;\,y_0]$ kde m; n jsou souřadnice středu kružnice
2) Pro poláru tj. přímku, která prochází tečnými body platí: $(x-m)(x_0-m)+(y-n)(y_0-n)=r^2$
3) Průsečíky poláry s kružnicí nám určí souřadnice tečných bodů T
4) Tečna je potom přímka procházející bodem X a bodem T (přímka určená dvěma body)

Elipsa
1) Elipsa ve tvaru $\frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$ a vnější bod $X[x_0;\,y_0]$ kde m; n jsou souřadnice středu elipsy
2) Pro poláru platí: $b^2(x-m)(x_0-m)+a^2(y-n)(y_0-n)=a^2b^2$
3) Průsečíky poláry s elipsou nám určí souřadnice tečných bodů T
4) Tečna je potom přímka procházející bodem X a bodem T (přímka určená dvěma body)

Hyperbola
1) Hyperbola ve tvaru $\frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$ a vnější bod $X[x_0;\,y_0]$ kde m; n jsou souřadnice středu hyperboly
2) Pro poláru platí: $b^2(x-m)(x_0-m)-a^2(y-n)(y_0-n)=a^2b^2$
3) Průsečíky poláry s hyperbolou nám určí souřadnice tečných bodů T
4) Tečna je potom přímka procházející bodem X a bodem T (přímka určená dvěma body)

Parabola
1) Parabola ve tvaru $(x-m)^2=2p(y-n)$ a vnější bod $X[x_0;\,y_0]$ kde m; n jsou souřadnice vrcholu paraboly
2) Pro poláru platí: $(x-m)(x_0-m)=p(y-n)+p(y_0-n)$
3) Průsečíky poláry s parabolou nám určí souřadnice tečných bodů T
4) Tečna je potom přímka procházející bodem X a bodem T (přímka určená dvěma body)

jelena · 02. 10. 2013 09:38

↑ Cheop:

Zdravím a obdiv :-) Ještě se to musí propašovat na MatWiki.

Vtip je v tom, že samotný tvar rovnice tečny je stejný jak pro bod na kuželosečce (a jak běžně používáme), tak i mimo kuželosečku - ale smysl použitého bodu je jiný a pro poláru ještě musí být další krok. Tedy se to dá pěkně standardizovat. Tak nevím, proč se nestandardizovalo - viz můj ↑ dotaz:?

vanok · 02. 10. 2013 10:50

Ahoj ↑ Cheop:,
Mozes upresnit co presne pre teba znamena pojem polara.

Cheop · 02. 10. 2013 11:04

↑ vanok:

Definice
Přímka daná rovnicí $(x - m)(x_0 - m) + (y - n)(y_0 - n) = r^2$ se nazývá polára bodu $X[x_0; y_0]$ vzhledem ke kružnici se středem $S[m; n]$ a poloměrem r.

Věta
Polára bodu $X[x_0; y_0]$ vzhledem ke kružnici k se středem $S[m; n]$ a poloměrem r obsahuje body dotyku tečen kružnice k, procházejících bodem X.

vanok · 02. 10. 2013 11:51 — Editoval vanok (02. 10. 2013 13:38)

↑ Cheop:
Pozdravujem,
Podla mna treba robit suvis z harmonickym pomerom, ktory to umoznuje presne definovat. (cf. Projektivne kuzelosecky)

Cize sa mi zda, ze ide iba o pozostatok z dost ( velmi?) starych programov, pravdepodobne z 30 tych rokov minuleho storocia... a vtedy geometria bola pre vela ziakov az trapenie. Ale to mi mozes ty lepsie upresnit, ako sa vyvijali v Cz, Sk programy stredoskolskej matematiky.
A tiez by ma zaujimalo kedy sa prestala ucit kruhova inverzia?

Edit: na webe sa da najst, ze tie rovnice co volas polary, su zname skor pod menom zvojenie premennych kruznice, elipsy, hyperboly, paraboly... v danom bode.(pouzivane dost vela autormy ako aj mnemotechnicky prostriedok za zapametanie vysledkov, ktore dali do tej formy).
No vsak taky vysledok treba dokazat pre kazdu kuzelosecku.

Cheop · 02. 10. 2013 13:37

↑ vanok:
Zdravím,
tak to tedy nebudeme nazývat polárou, ale nazvěme to přímkou procházející tečnými body kuželosečky.

vanok · 02. 10. 2013 13:52 — Editoval vanok (02. 10. 2013 13:54)

↑ Cheop:,
Ano napriklad, to je dobre riesenie... a mudrejsie podla dnesnych programov strednej skoly.
Ale tak ci tak, tvoja presentacia je pekne redigovanie viet o kuzeloseckach, uzitocnych pre stredoskolakov.
A co si ty mohol zistit o vyvoji skolskych programov?
Vyssie ↑ vanok: som do editoval co som nasiel o tom na webe.

Inac otvoril som vlakno o kuzeloseckach, mozno ta to zaujme.

jelena · 03. 10. 2013 10:56

↑ Cheop:, ↑ vanok:

Zdravím,

dívala jsem se na katedru didaktiky - materiály (2. odkaz není funkční) + seznam literatury k předmětu, také je zajímavé se podívat na str. matematických seminářů. To je pro přehled aktuálního stavu výuky (ale podrobně neznám, měli bychom někoho z kolegů oslovit, kdo je tomu blíž).

Hodně materiálů je také v digitální knihovně a jen pro zpestření - ze slovníků - karta názvosloví. No bohužel, kde vzít čas na podrobnější čtení (zejména, když osobně čtu raději něco jiného, než matematiku) :-)

Matematické Fórum

#1 29. 09. 2013 11:47 — Editoval cutrongxoay (29. 09. 2013 12:48)

Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#2 29. 09. 2013 12:36 — Editoval jelena (29. 09. 2013 14:44)

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#3 29. 09. 2013 13:23

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#4 29. 09. 2013 13:44

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#5 29. 09. 2013 14:42

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#6 29. 09. 2013 15:16 — Editoval vanok (29. 09. 2013 15:16)

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#7 29. 09. 2013 15:24

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#8 29. 09. 2013 15:39

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#9 29. 09. 2013 15:57

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#10 29. 09. 2013 16:09

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#11 29. 09. 2013 17:55 — Editoval vanok (29. 09. 2013 17:57)

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#12 30. 09. 2013 11:25 — Editoval Cheop (30. 09. 2013 12:21)

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#13 30. 09. 2013 11:34

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#14 30. 09. 2013 11:46

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#15 01. 10. 2013 10:12

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#16 01. 10. 2013 16:24

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#17 01. 10. 2013 22:40 — Editoval jelena (01. 10. 2013 23:38)

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#18 02. 10. 2013 08:26 — Editoval Cheop (02. 10. 2013 14:59)

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#19 02. 10. 2013 09:38

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#20 02. 10. 2013 10:50

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#21 02. 10. 2013 11:04

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#22 02. 10. 2013 11:51 — Editoval vanok (02. 10. 2013 13:38)

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#23 02. 10. 2013 13:37

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#24 02. 10. 2013 13:52 — Editoval vanok (02. 10. 2013 13:54)

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

#25 03. 10. 2013 10:56

Re: Rovnice tecny k dane kuzelosecce

Zápatí