Matematické Fórum

Skrytý text:

Pro jednosuchost omezím svoje úvahy na body . Nejprve se podívám na funkci definovanou , tato funkce je spojitá a existuje k ní funkce inverzní. Jejím oborem hodnot je  . Nechť je nyní libovolné reálné číslo, ukážu, že se v jeho libovolném okolí nachází obraz nějakého racionálního čísla, což znamená, že je hromadným bodem.
Vezmu tedy libovolné , vzorem tohoto okolí je opět nějaké okolí bodu (vím že existuje inverzní funkce), nyní využiji faktu, že množina je množina hromadných bodů , to znamená, že existuje a tedy . To ale znamená, že množina hromadných bodů je opravdu .
Nepostihl jsem úplně všechny případy, ale zbytek by měl jít snad dodělat snadno.





Druhou možností je využít opět faktu, že množina je množina hromadných bodů . Protože znám předpis inverzní funkce. Mohu pro libovolné číslo z oboru hodnot funkce nalézt vzor. Vzorem libovolného racionálního čísla je . Vzhledem k vlastnostem operací v se jedná opět o racionální číslo. Což opět dává výsledek.

Výhodou prvního postupu je, že se dá lehce zobecnit na mnohem větší počet případů.