Matematické Fórum

Katsushiro · 15. 10. 2013 19:34

Ahoj všichni! Prosím o radu s příkladem:

Chceme vedle sebe do řady postavit 5 dívek a 7 chlapců, přičemž nesmí vedle sebe stát 2 dívky (stále mezi sebou štěbetají). Kolik máme možností?

Ať se snažím, jak se snažím, nějak mi to pořád nedochází :D

Moc děkuji za rady, Katsu

jelena · 16. 10. 2013 10:30

Zdravím,

budu alespoň udržovat společenskou konverzaci (když už jsem ideová tetuška sekce), než se dostaví někdo zdatnější. Je mi jasné, že půjde hlavně o zaplnění mezer mezi dívky (mezer je celkem 4 "povinných" - tak vyčerpáme minimálně 4 chlapce)+ můžeme využit pozice před a po dívčím řadu. Do mezer mezi dívky můžeme dávat i více kluků.
Tak bych začínala rozestavením dívek (nevhodných elementů). Ale v příkladů 2.11 pan Kubesa začíná umístěním elementů vhodných. Zkoušel jsi projít tento příklad? Děkuji.

Katsushiro · 16. 10. 2013 15:24

↑ jelena:
Moc děkuju, tohle jsem nějak přehlédl :D

Zkusil jsem tedy postupovat stejně:

Nejprve rozestavím kluky s mezerami -> 7! , 9 mezer (beru i místo před a za řadou kluků)
Protože mám 5 holek, zbudou mi 4 neobsazené mezery -> mám ${9 \choose 4}$ možností výběru.
No a nakonec prohážu holky mezi sebou -> 5!

Takže mám 7! * 126 * 5! = 76 204 800

Není to nějak moc? :D

zdenek1 · 16. 10. 2013 15:28

↑ Katsushiro:
Doporučuju ještě jednou přepočítat mezery mezi chlapci.
Jinak je to OK.

Katsushiro · 16. 10. 2013 18:10

↑ zdenek1:
Ha, to není možné :D

Samozřejmě máš pravdu, má to vypadat takhle:

Mezer mezi chlapci je 6 + 2 místa po okrajích jejich řady, tj. celkově 8, nikoliv 9 :D

Správné řešení příkladu je tedy:

7! * ${8 \choose 4}$ * 5! = 5040 * 70 * 120 = 42 336 000

Moc díky všem za rady ;-)

jelena · 17. 10. 2013 23:58

↑ Katsushiro:

také děkuji (a hlavně kolegovi Zdeňkovi, že se zapojil). Rada bych viděla vysvětlení, proč kolega Kondr používal jiný postup, děkuji, nehoří.

Katsushiro v jiném tématu napsal(a):
Ha, zadání mi tlumočil spolužák, evidentně mě mystifikoval :D

:-) víš, co sil a prostředků bylo vynaloženo na tento projekt? A přesto jste pořád ve stavu ústních bájí. Aktuální odkazy přidám do úvodního tématu sekce (pravděpodobně zítra).

zdenek1 · 05. 11. 2013 18:26

↑ jelena:
Kondr

Nejprve rozmístíme 5 mužů a 3 ženy naprosto libovolně (variace s opakováním). Pak tam doplníme zbylé 4 ženy - první napravo od prvního muže zleva, druhou napravo od druhého, ... to už lze jediným způsobem.

Takže můj způsob dává $7!\cdot{8\choose4}\cdot5!$

a nyní Kondr.
Jeho návod je velmi stručný a předpokládá, že ženy a muži jsou nerozlišitelní. Což je jistě špatně.
Pokud provedem opravu na rozlišitelnost lidí, tak
a) musíme ty ženy nejprve vybrat, to lze ${7\choose3}$ způsoby.
b) přidáme 5 mužů a rozestavíme, to lze $8!$ způsoby.
c) rozmístíme zbylé 4 ženy způsobem alá Kondr, jenže když jsou rozlišitelné, jde to udělat $4!$ způsoby a nikoli jedním

Takže dostáváme
${7\choose3}\cdot8!\cdot4!$

Pokud kombinační čísla rozepíšeš, zjistíš, že oba výrazy jsou shodné.

jelena · 08. 11. 2013 14:31

↑ zdenek1:

Zdravím a děkuji velice, mně ani tak nešlo o to, že výrazy jsou shodné nebo ne, ale o sled úvah, pokoušela jsem se zorientovat v každém ze zadání (i v těchto). No snad už ano :-), kolegovi Kondrovi přidám odkaz na toto téma.

To má zřejmě nějaký metodický smysl, že všude je 5 a 7.

Matematické Fórum

#1 15. 10. 2013 19:34

Kombinatorika 2

#2 16. 10. 2013 10:30

Re: Kombinatorika 2

#3 16. 10. 2013 15:24

Re: Kombinatorika 2

#4 16. 10. 2013 15:28

Re: Kombinatorika 2

#5 16. 10. 2013 18:10

Re: Kombinatorika 2

#6 17. 10. 2013 23:58

Re: Kombinatorika 2

Katsushiro v jiném tématu napsal(a):

#7 05. 11. 2013 18:26

Re: Kombinatorika 2

#8 08. 11. 2013 14:31

Re: Kombinatorika 2

Zápatí