Matematické Fórum

Saturday · 11. 12. 2007 23:30

$\lim_{x\to 0} \, \left(\frac{4^x x+1}{5^x x+1}\right)^{\frac{1}{x^2}}$

Nevíte někdo, jak vyřešit tuto limitu, aniž by se to převedlo na výraz: $e^{\lim_{x\to 0} \, \left(\frac{1}{x^2}*\log{\frac{4^x x+1}{5^x x+1}\right)$ , ze kterého lze dojít k cíli dvojím aplikováním l'Hospitalova pravidla.

To derivovani je opravdu (!) dlouhe, proto bych cekal, ze to jde vyresit nejakym trikem.

Marian · 12. 12. 2007 07:11

Ten prevod na vyraz obsahujici prirozeny logaritmus je v poradku. Zkus pouzit toto misto okamzite aplikace l'Hospitalova pravidla faktu, ze

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$ . .....................(1)

Jinak receno, jses-li schopen dokazat, ze vyraz v logaritmu se blizi k jednicce, pak to vzdy jiz lze prepsat do tvaru ln(1+ neco), neco se blizi k nule. Ve tvem pripade

$\frac{4^xx+1}{5^xx+1}=1+\underbrace{\left (\frac{4^xx+1}{5^xx+1}-1\right)}_{\mathrm{upravit}}.$

Vztah (1) nam pak rika, ze vztah ln(1+neco) lze nahradit v limite vyrazem "neco". To neco je ve tvem pripade ten vyraz v okrouhlych zavorkach vyse, pod nimz je napsano "upravit". Tak se zbavis logaritmu a vypocet muze byt jednodussi.

Saturday · 13. 12. 2007 20:21

Bohuzel se mi to nezdarilo, vysledek puvodni limity je 4/5. Nevim, jestli jsi vlastne psal odhad nebo jsi se dostal az reseni, jestli ma smysl se pokouset dal to zkouset nebo radeji zkusit nejaky jiny postup..

Marian · 13. 12. 2007 21:23

No zkusil jsem to a trval mi ten vypocet tak asi 30 vterin. Je to skutecne ve vysledku 4/5. Pouzil jsem to, co jsem napsal a po nejakych jednodussich upravach jednou l´Hospital (velice trivialni, totiz potreboval jsem derivovat jen funkce "x", "4^x" a "5^x").

Ted bohuzel nemam cas to sem napsat, ale zitra by to mohlo vyjit.

Hezky vecer ...

Saturday

Tak jsem na to sedl ještě jednou a už se zadařilo :-), díky moc za pomoc

$\lim_{x\to 0} \, \left(\frac{1}{x^2}*\log{\frac{4^x x+1}{5^x x+1}\right)$

$\lim_{x\to 0} \, \left(\frac{1}{x^2}*\frac{\log{\left(1+\frac{x*4^x - x*5^x}{x*5^x + 1}\right)}}{{\frac{x*4^x-x*5^x}{x*5^x+1}}}*\frac{x*4^x-x*5^x}{x*5^x+1}\right)$ - "co jsem přidal, to vezmu zpět", proto násobím převráceným zlomkem - jen nevím, jestli jsem tím neudělal nějakou chybu, myslím tím jmenovatelem pod logaritmem; prostřední součinitel se rovná jedná

$\lim_{x\to 0} \, \left(\frac{1}{x^2}*\frac{x*4^x-x*5^x}{x*5^x+1}\right)$

$\lim_{x\to 0} \, \left(\frac{4^x-5^x}{x(x*5^x+1)}\right)$ - vykrátil jsem jedno "x" a použiji l'Hospitalovo pravidlo

$\lim_{x\to 0} \, \left(\frac{4^x*ln 4-5^x*ln 5}{ x*5^x + 1 + x(ln 5 * x * 5^x + 5^x)}\right)$ = $\lim_{x\to 0} \, \left(\frac{ln 4-ln 5}{1}\right)$ = $ln \frac{4}{5}$

a konečně: $e^{ln \frac{4}{5}} = \frac{4}{5}$

andrew · 13. 12. 2007 23:44 — Editoval andrew (13. 12. 2007 23:57)

2Saturday : Nejak mi ta Vase uprava z prvniho vyrazu na druhy nedava moc smyls :(.

Jak spravne naznacuje Marian uzije se vzorce $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln(x+1)}{x}=1$ , kde si staci uvedomit, ze se to da prepsat do tvaru $\lim\limits_{t\to 1} \frac{\ln(t)}{t-1}=1$ .
Takze limita $\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x^2}*\ln \frac{x4^x +1}{x5^x +1}$ se spocita tak, ze rozsirujete vyrazem $\frac{\frac{x4^x +1}{x5^x +1}-1}{\frac{x4^x +1}{x5^x +1}-1}$ .
Tedy
$\lim\limits_{x\to 0} \left( \frac{1}{x^2}*\ln \left(\frac{x4^x +1}{x5^x +1}\right)*\frac{\frac{x4^x +1}{x5^x +1}-1}{\frac{x4^x +1}{x5^x +1}-1}\right) = \lim\limits_{x\to 0} \left( \frac{\frac{x4^x +1}{x5^x +1}-1}{x^2}*\frac{\ln \left(\frac{x4^x +1}{x5^x +1}\right)}{\frac{x4^x +1}{x5^x +1}-1}\right) = \lim\limits_{x\to 0} \frac{4^x - 5^x }{x(x5^x+1)} \stackrel{\mbox{\script l'H}}{=} \ln\frac{4}{5}$ .

Saturday · 13. 12. 2007 23:56

jak jsem to kopiroval, tak jsem v tom logu zapomnel dodat "x", je to nyni uz spravne?

andrew · 14. 12. 2007 00:01

2Saturday : ano, akorat stale nevim jakou algebraickou upravou jste dosel od prvniho vyrazu k druhemu...

Saturday · 14. 12. 2007 00:03

rozsireni tim zlomkem je videt a pak je tam pouzito to, co navrhoval Marian, tedy pricteni a odecteni jednicky v logaritmu

andrew · 14. 12. 2007 00:12

2Saturday : jop uz to tam vidim, oki... :)

Marian · 14. 12. 2007 13:19

Ano, tak je to skutecne spravne. Jen ten l´Hospital muze byt proveden jeste jednoduseji. Uvedomte si, ze vyraz $5^x\cdot x+1$ se nemusi pri aplikaci l'Hospitala jiz vyskytovat. Lehceji receno, lze tam jiz dosadit hodnotu x=0. Cili ve jmenovateli zbyde pouze faktor "x". Ten se jiz derivuje mnohokrat lepe ...

Matematické Fórum

#1 11. 12. 2007 23:30

Limita - jednodušeji?

#2 12. 12. 2007 07:11

Re: Limita - jednodušeji?

#3 13. 12. 2007 20:21

Re: Limita - jednodušeji?

#4 13. 12. 2007 21:23

Re: Limita - jednodušeji?

#5 13. 12. 2007 22:35 — Editoval Saturday (13. 12. 2007 23:55)

Re: Limita - jednodušeji?

#6 13. 12. 2007 23:44 — Editoval andrew (13. 12. 2007 23:57)

Re: Limita - jednodušeji?

#7 13. 12. 2007 23:56

Re: Limita - jednodušeji?

#8 14. 12. 2007 00:01

Re: Limita - jednodušeji?

#9 14. 12. 2007 00:03

Re: Limita - jednodušeji?

#10 14. 12. 2007 00:12

Re: Limita - jednodušeji?

#11 14. 12. 2007 13:19

Re: Limita - jednodušeji?

Zápatí