Matematické Fórum

Keeeeke · 23. 10. 2013 10:39

Ahoj,
prosim o pomoc s rovnicí: $\sqrt[3]{1+\ln x}+\sqrt[3]{1-\ln x}=2$ .
Díky

Arabela · 23. 10. 2013 12:07

Ahoj ↑ Keeeeke:,
skús umocniť obe strany na tretiu; niečo sa zruší, niečo vykráti. Potom na ľavej strane vyjmi pred zátvorku výraz $\sqrt[3]{(1+\ln x)(1-\ln x)}$ .
Výraz, ktorý zostane v zátvorke po vytknutí, je PRESNE ľavá strana pôvodnej rovnice, takže ho môžeš nahradiť číslom dva. Ostatné je už ľahké...

Jj · 23. 10. 2013 12:08

↑ Keeeeke:

Dobrý den,
řekl bych, že zřejmé řešení bude x = 1, nevím jak jednoduše na další kořeny.

Cheop · 23. 10. 2013 12:17

↑ Jj:
Daší kořeny už nebudou výsledkem je pouze: $x=1$

zdenek1 · 23. 10. 2013 12:46

↑ Keeeeke:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-10/25144_pic.jpg

Arabela · 23. 10. 2013 13:25

↑ Keeeeke:,
vidím, že kolega zdenek1 mnou navrhnutý postup pekne, jasne a stručne rozpísal, takže teraz by už malo byť všetko jasné...

Brano · 23. 10. 2013 13:58

↑ Arabela:
Len treba poznamenat, ze to dosadenie dvojky za ten vyraz je dosledkova uprava a teda vsetky riesenia co dostaneme (teda konkretne to jedno $x=1$ ) treba este overit skuskou spravnosti - ktora samozrejme prejde, ale bez nej to nie je uplne riesenie.

Keeeeke · 23. 10. 2013 14:38

Dekuji vsem, uz tomu rozumim.

Arabela · 23. 10. 2013 19:20

↑ Brano:,
ďakujem za pripomienku, je to naozaj tak.

byk7 · 29. 10. 2013 23:02

Jiný možný postup:
$t:=\sqrt[3]{1-\ln(x)}\ \Rightarrow\ 1+\ln(x)=\sqrt[3]{t^3-2t+2}$
máme tedy vyřešit rovnici
$t^3-2t+2=(2-t)^3\ \Leftrightarrow\ t^3-3t^2+5t-3=0$
"tipnutím si" kořene $t=1$ dostáváme
$(t-1)$t^2-2t+3$=0\quad\text{ ale }\quad t^2-2t+3=(t-1)^2+2>0$
takže $t=1$ je jediný kořen, odtud pak $x=1$ .

BakyX · 30. 12. 2013 18:13

↑ Keeeeke:

Pošlem ešte jeden postup:

$\sqrt[3]{1+\ln x}=a$ a $\sqrt[3]{1-\ln x}=b$

Potom $a+b=2$ a $a^3+b^3=2$ . A teraz:

1. Vďaka nerovnosti medzi priemermi platí

$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}} \ge \frac{a+b}{2}$

a dokonca nastáva rovnosť, takže $a=b$ a z $a+b=2$ máme $a=b=1$ .

2. Takúto sústavu môžeme rovno vyriešiť. $2=a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2-3ab)=2(4-3ab)$ , z čoho máme $ab=1$ , takže $a,b$ sú korene kv. rovnice $x^2-2x+1=(x-1)^2$ , takže $a=b=1$ .