Matematické Fórum

Hledame ortogonalni doplnek, tzn. resime soustavu rovnic, ktere odpovidaji te matici, dostaneme reseni ve tvaru (a,b,a,c,b+c,a+c)=a(1,0,1,0,0,1)+b(0,1,0,0,1,0)+c(0,0,0,1,1,1). Generujici matici pak poskladame z generatoru vysledku (po radcich)
1 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 0 0 1 1 1
To reseni soustavy je podobne normalnim soustavam rovnic v realnych cislech, akorat se musi vyuzit toho, ze 1+1=0.

Ta je pouze rozepsáním (a,b,a,c,b+c,a+c). A k tomu dojdeme tak, že přehážme rovnice:
0 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 0
1 0 1 0 0 0

Tahle soustava je ve schodovitém tvaru, ikdyž jsou "schody" zprava doleva a ne zleva doprava, jako obvykle. Můžeme ji převést i na klasický schodovitý tvar, ale buďme líní. Z poslední rovnice vidíme, že první neznámou lze položit rovno a, druhou b, třetí se rovná -a-0b=a.
Z předposlední rovnice: čtvrtou neznámou označíme za c, pátá neznámá je -a-b-a-c=b+c, šestá neznámá se dopočítá z první rovnice jako
-b-a-b-c=a+c.

Zadanou matici H vyřešíš jako soustavu homogenních rovnic. Řádky matice G jsou pak generátory nalezeného prostoru řešení. Soustavu tedy řešíš jen jednu. (G je hledaná generující matice).

Řeší se to úplně stejně, jako by to byla soustava ronic nad reálnými čísly -- tedy eliminací. Šest proměnných, tři rovnice, to znamená, že výsledný prostor řešení bude mít dimenzi 6-3=3 (řešení budou záviset na 3 parametrech). Jak vypadá ta eliminace pro tuto konkrétní matici H jsem naznačil výše: ↑ Kondr:. Proměnné d,e,f tam nejsou, protože ty lze dopočítat (můžeš si to představit tak, že a,b,c jsoutři bity, na kterých jsou data, zbylé tři bity jsou kontrolní).

Nebo není jasné, kde se vzala identita (a,b,a,c,b+c,a+c)=a(1,0,1,0,0,1)+b(0,1,0,0,1,0)+c(0,0,0,1,1,1)? To že platí je zřejmé, stačí roznásobit a posčítat pravou stranu. A jak na ni přijít? Z vektoru (a,b,a,c,b+c,a+c) posbírám koeficienty u a,b,c, seřadím je do vektorů a vynásobím pžíslušnou proměnnou.

↑ Pika:Gaussova eliminace musí vést na stejný prostor řešení, pravděpodobně ti vyjde jiná báze. Jak jsem psal, zde by byla standardní eliminace prací navíc, protože dost nul je ve dvou pravých sloupcích. K nulovému řádku nedojdeš (leda bys sečetl nějaký řádek se sebou samým, což je to samé, jako násobit dvojkou, ani jednu z těchto úprav nad binární abecedou dělat nelze nelze).