Matematické Fórum

MirekH · 27. 10. 2013 17:31 — Editoval MirekH (27. 10. 2013 17:31)

Ahoj,

řeším následující problém. Teplotní roztažnost je definovaná vztahem
$\alpha(T) = \frac{1}{L}\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} T}\, ,$
což vede na řešení
$V = V_0 \mathrm{e}^{\int_{T_0}^{T_1} \alpha(T) \mathrm{d}T} \, .$
Nicméně na na Wikipedii a všude jinde je uváděn vztah
$\frac{\Delta V}{V} = \int_{T_0}^{T_1} \alpha(T) \mathrm{d}T \, .$
Pokud budeme volit velká $\Delta T$ a velká alpha (řádově $10^{-4}$ ), budou se výsledky značně lišit. Samozřejmě stačí v jednom ze vztahů předefinovat $\alpha$ , nicméně nevím, ve kterém z těchto vztahů je $\alpha$ přibližně lineární a který potřebuje $\alpha$ opravit.
Děkuji za odpovědi.

KennyMcCormick · 27. 10. 2013 18:05

Podle mě je prostřední rovnice přesně správně, protože vychází přímo z té definice.

Třetí rovnici, zdá se, získali na Wikipedii tak, že nejdřív přepsali diferenciály jako delty, a když pak zohlednili závislost alfy na teplotě, "zapomněli", že místo $\operatorname{d}V$ jim tam zůstalo $\Delta V$ z toho předchozího zjednodušeného vzorce :-).

MirekH · 28. 10. 2013 19:03

↑ KennyMcCormick:
Já osobně jsem dospěl k závěru, že druhá rovnice je sice správně, ale pro reálné materiály je hodnota $\alpha$ tak malá, že pro libovolný rozdíl teplot platí $\Delta V << V$ , a proto můžeme použít třetí (aproximovanou) rovnici. Nicméně bych rád viděl nějaké experimentální výsledky, které potvrzují, že je ta změna v objemu skutečně exponenciální.

LukasM · 28. 10. 2013 20:45

↑ MirekH:
Nevím, ale přijde mi že z toho vztahu pořád ještě neplyne, že by nárůst měl být exponenciální. To by platilo v případě, že $\alpha$ není funkcí teploty, což není pravda, a o skutečném průběhu závislosti bude rozhodovat právě závislost $\alpha(T)$ .

Třetí vzorec vznikl ze druhého pro malé hodnoty $\int_{T_0}^{T_1} \alpha(T) \mathrm{d}T$ , to je vidět okamžitě po roztaylorování té exponenciely ve druhém vzorci a dosazení $V=V_0+\Delta V$ . Další aproximace je právě zanedbání závislost $\alpha(T)$ , což dává ten vzoreček známý ze SŠ.

Nevím jestli to odpovídá na tvou otázku. Druhá rovnice je přesnější než třetí, ale pokud ti opravdu jde o velké teplotní rozdíly, bez znalosti toho jak se mění $\alpha$ s teplotou je ti stejně na prd.

pietro · 01. 11. 2013 18:15

↑ MirekH:Ahoj, a čo povieš na vodu?

http://dev.physicslab.org/Document.aspx … ansion.xml

Tam nám už len nekonečný Taylor pomôže :-)

Matematické Fórum

#1 27. 10. 2013 17:31 — Editoval MirekH (27. 10. 2013 17:31)

Definice teplotní roztažnosti

#2 27. 10. 2013 18:05

Re: Definice teplotní roztažnosti

#3 28. 10. 2013 19:03

Re: Definice teplotní roztažnosti

#4 28. 10. 2013 20:45

Re: Definice teplotní roztažnosti

#5 01. 11. 2013 18:15

Re: Definice teplotní roztažnosti

Zápatí