Matematické Fórum

mrak · 02. 11. 2013 17:10

Patrne se jedna o jednoduchy problem, ale ja ne to koukam jak jelen:

Mam dve linearni funkce promennych $x_{i}$ o koeficientech $A_{i}$ a $B_{i}$ kde $i=1...n$
a upozornuji, ze n>30

$y=A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}+...+A_{n}x_{n}$
$z=B_{1}x_{1}+B_{2}x_{2}+...+B_{n}x_{n}$

tyto funkce dosadim do nasledujiciho vztahu:

$\frac{y^{2}}{z}=w$

a nyni mam vyjadrit take $w$ jako linearni funkci $x_{i}$ s koeficienty $C_{i}$ kde opet $i=1...n$
$w=C_{1}x_{2}+C_{2}x_{3}+...+C_{n}x_{n}$

Otazka zni, jak vyjadrit koeficienty $C_{i}$ ?
Ja vubec nevidim, jak to udelat, mozna, ze se po me chce to ten vyraz ve zlomku nejakym zposobem linearizovat?

Diky za napady.

jelena · 02. 11. 2013 21:18

Zdravím,

zkoušel jsi provést jen pro nenáročný zápis, např. jen pro 2 členy $y=A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}$
$z=B_{1}x_{1}+B_{2}x_{2}$ ?

Zkouším vyjádřit koeficienty pomocí dělení dvojčlenu dvojčlenem, ale pořád mi jeden člen přebývá, který nedokáží zapsat dle Tvé představy (tedy lineárně). Jak vznikl Tvůj dotaz? Děkuji.

mrak · 02. 11. 2013 21:32 — Editoval mrak (02. 11. 2013 21:35)

↑ jelena:

Diky za odpoved,

Mno prave ze to nechapu ani s dvema členy, zkousel jsem na to jit podobne jako ty.

Problém je následující:
Ty linearni rovnice predstavují nejaky fyziklani model, ktery je popsany ve tvaru, kde koeficienty $A_{i}$ , $B_{i}$ jsou zavisle na vstupech systemu, a $x_{i}$ jsou konstanty urcujici chovani toho modelu. A ja potrebuju ty konstanty urcit, coz provadim fitovanim na ruzna namerena data (resim pres SVG dekopozici). Navic je explicitne dano, ze tato procedura je linearni problem, ktery se ma resit linearnimi metodami. Jenze jedna velicina, ktera se vyskytuje v souboru namernych date je $w$ , ktere je urceno uvedenym vzorcem.

jelena · 02. 11. 2013 23:57

↑ mrak:

děkuji, jen moje postřehy:

a) $\frac{y^{2}}{z}=w$ přepíšeme za předpokladu, že $z\neq 0$ na $y=\pm \sqrt{zw}$ - za jaké podmínky $\sqrt{zw}$ je lineární?

b) lineárně se podaří zapsat, když jsou odlišné koeficienty pouze u jedné neznámé $x_i$ (a tuším, že má to za původ něco o kvadratických formách, čemu zas nerozumím, jen si to tak představuji) - vyjadřovalo by se hezky (příklad - pouze z má odlišný koeficient), ale asi Tvůj problém to neřeší.

Tak snad ještě kolegové, děkuji.

mrak · 03. 11. 2013 00:32

↑ jelena:

Ja nechci zabíhat do detailů, jelikož bych se v tom zamotal a nikdo by se v mem vykladu nevyznal, nicmene jeste trochu přibližím pozadí, možná je řešení trochu hlouběji:

Vychozi rovnice:
$p=Q_{1(T,r)}x_{1}+Q_{2(T,r)}x_{2}+....+Q_{n(T,r)}x_{n}$

Funkce $y$ z citatele je vyjadrena jako derivace p:
$y=(\frac{\partial p}{\partial T})_{konst\ r}$
tedy:
$y=A_{1(T,r)}x_{1}+A_{2(T,r)}x_{2}+....+A_{n(T,r)}x_{n}$
kde: $A_{n(T,r)}=(\frac{\partial Q_{n(T,r)} }{ \partial T})_{r}$

Podobne je to s $z$ v jmenovateli:
$z=(\frac{\partial p}{\partial r})_{konst\ T}$
tedy:
$z=B_{1(T,r)}x_{1}+B_{2(T,r)}x_{2}+....+B_{n(T,r)}x_{n}$
kde: $B_{n(T,r)}=(\frac{\partial Q_{n(T,r)} }{ \partial r})_{T}$

Pak $w$ lze prepsat jako:

$w=\frac{\{(\frac{\partial p}{\partial T})_{konst\ r}\}^{2}}{(\frac{\partial p}{\partial r})_{konst\ T}}$

a ja hledam $w$ ve tvaru:
$w=C_{1(T,r)}x_{1}+C_{2(T,r)}x_{2}+....+C_{n(T,r)}x_{n}$

Tim je dano, ze linearní koeficinety na sobe zavisi, což by mohlo být k nečemu užitečné....

Kazdopadne dekuji za predchozí

user · 03. 11. 2013 00:57 — Editoval user (03. 11. 2013 01:06)

Ahoj,

jestli jsem to dobře pochopil, tak máš funkce $y$ a $z$ jako lineární funkce n-proměnných a pak funkci $w=\frac{y^2}{z}$ , po které chceš aby byla také lineární v těchto proměnných?

Obávám se, že obecně to lineární funkce nebude. Nicméně pokud problém pochází z fyziky a popisuje nějaký experiment, tak by mohla jít použít lineární aproximace v okolí nějakého bodu $(a_1,\dots,a_n) \in\mathbb{R}^n$ pomocí Taylorova rozvoje v okolí tohoto bodu.

↑ jelena:
b) Taky se v tomto tématu příliš nevyznám, ale odhadl bych, že podmínka linearity $w$ by šla ověřit právě tím Taylorem, kde by se ukázalo, že všechny vyšší derivace v rozvoji budou nulové.

mrak · 03. 11. 2013 01:13 — Editoval mrak (03. 11. 2013 01:17)

↑ user:

Ano asi to tak bude...linearizace je asi jedine reseni.

Ja nad tim badam, jelikož mam několik publikaci od nekolika autoru, ktere hovori o obecne linearite ulohy pro vetsinu promennych ( $p$ , $y$ , $z$ ...). V publikacich se sice zminuji, ze se v problemu mohou vyskytout i nelinearni promenne, ale nikdy nezmini promennou $w$ . Dokonce mam publikace, kde promennou $w$ evidentne pouzivaji a zadne problemy s nelinearitou ani naznakem nezminuji. Na druhou stranu, nikde neni vyslovene napsano, ze $w$ je linearni vzhledem k $x$ .

Dekuji za rady

user · 03. 11. 2013 01:21

Tak se dívám na detailnější popis problému a v zadání máš vlastně funkci n+2 proměnných
$p=p(T,r,\vec{x})$ o které máš detailnější informace a zajímáš se o funkci
$w(T,r,\vec{x})=\left(\frac{\left(\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{r,\vec{x}}\right)^2}{\left(\frac{\partial p}{\partial r}\right)_{T,\vec{x}}}\right)(T,r,\vec{x})$ ,
je to tak?

$\vec{x}=(x_1,\dots,x_n)$

mrak · 03. 11. 2013 01:30

↑ user:

vlaste tomu tak je, $n$ jsou konstanty modelu.
$r$ , $T$ jsou podminky, za kterych byla namerena velicina $w$ .

Ja mam tedy namereno mnoho ruznych $w_{i}$ pro ruzne kombinace $[T_{i}$ , $r_{i}]$ a hledam $n$ koeficientu $Q$ funkce $p$ , tak aby funkce $w$ (ktera obsahuje parcialni derivace $p$ ) sedela na namerene hodnoty $w_{i}$ pro $T_{i}$ a $r_{i}$ .