Matematické Fórum

Permo · 03. 11. 2013 16:36

Ahoj, potřebovala bych poradit s limitou
$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-\text{tg}x}{x\sin ^{2}x}$
2x jsem použila l hospitalovo pravidlo

$\lim_{x\to0}\frac{\cos ^{3}x-1}{\cos ^{2}x \cdot 2\sin x\cos x }=\lim_{x\to0}\frac{-3\sin x\cos x}{-3\cos x\sin x\cdot 2\sin x+2\cos ^{4}x}$

= 0

a nejsem si jistá s tou nulou

byk7 · 03. 11. 2013 16:55

↑ Permo:

$$x\sin^2(x)$'=\sin^2(x)+2x\sin(x)\cos(x)=\sin^2(x)+x\sin(2x)\neq2\sin(x)\cos(x)$

Já bych si ten výraz spíš nejdřív upravil
$\frac{\sin(x)-\tan(x)}{x\sin^2(x)}=\frac{1-\frac{1}{\cos(x)}}{x\sin(x)}=\frac{\cos(x)-1}{x\sin(x)\cos(x)}=\frac{2\cos(x)-2}{x\sin(2x)}$
a až pak derivoval.

Permo · 03. 11. 2013 17:35

↑ byk7:
děkuji, teď to vyšlo. Ale jak mě to má napadnout, že to mám napřed upravit nevím.

Ferdish · 04. 11. 2013 10:37

To je trochu filozofická otázka.

Každá úprava by vo všeobecnosti mala viesť k zjednodušeniu príkladu resp. k rozkladu na síce väčší počet úloh, ale z hľadiska zložitosti jednoduchších ba až triviálnych, kedy dostaneš niekoľko "dobre definovaných" výrazov, ktoré sa počítajú oveľa ľahšie než pôvodne zadaný vzťah.

Konkrétne v tomto príklade máš sínus v mocnine a tangens. Goniometrická funkcia v mocnine, ešte k tomu v menovateli, dosť naznačuje možnú úpravu výrazu, hlavne keď mocnina je vyššia alebo rovná 3. To môže viesť na krátenie členov v čitateli, úpravu cez súčtový vzorec a pod. Tangens patrí síce medzi elementárne goniometrické funkcie, ale súčtové vzorce na tangens nepatria medzi tie najčastejšie využívané, alebo tiež napr. keď riešiš limitu alebo deriváciu nejakého výrazu v bode, kde je tento výraz nespojitý práve vďaka tomu tangensu, tak úprava na podiel sínusu a kosínusu sa tu priam núka, pretože síce miesto jednej funkcie dostaneš podiel dvoch funkcií, ale zato spojitých na celom intervale.

Rumburak · 04. 11. 2013 12:28

↑ Permo:

Ale jak mě to má napadnout, že to mám napřed upravit nevím.

To je věc zkušenosti. Já bych ty úpravy vedl trochu jinam:

$\frac{\sin(x)-\tan(x)}{x\sin^2(x)}=\frac{1-\frac{1}{\cos(x)}}{x\sin(x)}=\frac{\cos(x)-1}{x\sin(x)\cos(x)}=-2 \frac{\frac{1-\cos x}{2}}{x\sin x \cos x} =\\= -2 \cdot \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{x\cdot \frac{\sin 2x}{2}} =-2 \cdot \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2\cdot \frac{\sin 2x}{2x}} = -2 \cdot \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{4 \cdot $\frac{x}{2}$^2\cdot \frac{\sin 2x}{2x}} = \\=-\frac{1}{2}\cdot $\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}$^2 \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \to -\frac{1}{2}$ ,

pokud tam nemám numerickou chybu.

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2013 16:36

limita s gon. funkcí

#2 03. 11. 2013 16:55

Re: limita s gon. funkcí

#3 03. 11. 2013 17:35

Re: limita s gon. funkcí

#4 04. 11. 2013 10:37

Re: limita s gon. funkcí

#5 04. 11. 2013 12:28

Re: limita s gon. funkcí

Zápatí