Matematické Fórum

Kelly · 05. 11. 2013 18:53

Dobrý den,

učím se určovat názvy množin se 2 operacemi a potřebovala bych poradit v těchto dvou věcech:

1. ověřování dělitelů 0 u oboru integrity - pokud je operace zadaná tabulkou, tak to chápu - vždy si najdu neutrální prvek v první tabulce a v druhé hledám, pokud ho dostanu ve 2. tabulce jako operaci některých nenulových prvků. Také je dokážu určit pokud pracuji s množinami zbytkových tříd. Ale mám problém, pokud mám operace zadané předpisem. Došlo mi, že pokud pracuji s čísli - např (Z,+,*), tak zde nic takového není (teda snad mi to došlo správně), ale na cvičeních jsme dělalil ještě jeden typ příkladů a zde si nevím rady:
např (Z,o,*) , kde operace o : xoy=x+y+2 a * je x*y=3xy ..... podle mého postupu který mě napadl jsem si našla neutrální prvek první operace - tj zde e=-2 a paj ho dosadila jako výsledek druhé operace:
3xy=e ... 3xy=-2.... xy=-2/3 ..... a ted jdu již intuitivně.... např zde c celých číslech neexistují, ale úpokud bych pracovala v reálných číslech, tak již taková čísla najdu.... chápu to dobře?
Jde mi čistě o příklad tohoto typu, nic složitějšího neděláme a z tabulky či se zbytkovými třídami to chápu. Děkuji.

2. Pokud ověřuji těleso, dělá mi problém podmínka, že množina bez nuly s druhou operací má být grupa...prosím je nějaký postup, kterým se to dá určit? nevím jak vylučovat tu 0...

Děkuji moc :)

Oxyd · 06. 11. 2013 06:40 — Editoval Oxyd (06. 11. 2013 06:43)

Používání postupů, které tě napadnou, a rozumné uvažování je ta správná cesta. :) Není moc věcí, na které by se dal napasovat jeden univerzální postup -- ono by to pak bylo takové nudné, kdyby na všechno byl postup.

1: Aby komutativní okruh s jednotkou $(\mathbb{Z}, \circ, \ast)$ byl obor integrity, musí platit podmínka $a, b \ne e \Rightarrow a \ast b \ne e$ -- ptáš se, jak tuhle podmínku ověřit? Ověřuješ ji správně -- prostě řešíš rovnici $a \ast b = e$ a zajímá tě, jestli má nějaké řešení, ve kterém a ani b není e -- takové řešení by tu podmínku porušovalo. S operacemi, které jsi definovala, zjistíš, že řešení jsou tvaru $a = -\frac{2}{3b}$ -- to se ti ale v celých číslech nepodaří, tedy řešení neexistuje, tedy podmínka je splněna.

Co se $(\mathbb{R}, \circ, \ast)$ týče (pořád se stejnými operacemi), tak tam skutečně takové číslo najdeš. A skutečně tohle není obor integrity. Například platí $-\frac{2}{3} \ast 1 = 3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot 1 = -2 = e$ , byť ani jeden z činitelů není e.

Všechno máš teda správně. Proto mi není moc jasné, na co se ptáš -- mohla bys to upřesnit, pokud to stále není jasné?

2: Prostě tu nulu vynecháš... Například si vezmeme $\left(\mathbb{Z}_5, +', \cdot'\right)$ , kde $\mathbb{Z}_5 = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ , operace jsou definovány jako zbytky po dělení pěti, tzn. $a +' b := (a + b) \bmod 5$ , $a \cdot' b := (a \cdot b) \bmod 5$ . Podíváme se, jestli je to těleso:

Jedna z podmínek je, že $\left(\mathbb{Z}_5 \setminus \{0\}, \cdot'\right)$ má být grupa. Jednotkový prvek to má, inverz se taky vždycky najde -- $1 \cdot' 1 = 1$ , $2 \cdot' 3 = 1$ , $3 \cdot' 2 = 1$ , $4 \cdot' 4 = 1$ -- a je vidět, že inverzní prvek je vždycky něco nenulového, tedy existuje uvnitř té nosné množiny okradené o nulu. Tedy je to grupa. (A celé $\left(\mathbb{Z}_5, +', \cdot'\right)$ skutečně je těleso.)

Univerzální postup, opět, asi existovat nebude. Musíš to ověřit podle toho, co dostaneš v definici.

Kelly · 06. 11. 2013 07:54 — Editoval Kelly (06. 11. 2013 07:56)

↑ Oxyd:
Děkuji moc za krásné vysvětlení, už to chápu snad všechno. V tom prvním případě jsem se chtěla ujistit, že jsem si nevymyslela špatný postup. :) Opravdu moc děkuji.

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2013 18:53

Obor integrity, těleso

#2 06. 11. 2013 06:40 — Editoval Oxyd (06. 11. 2013 06:43)

Re: Obor integrity, těleso

#3 06. 11. 2013 07:54 — Editoval Kelly (06. 11. 2013 07:56)

Re: Obor integrity, těleso

Zápatí