Matematické Fórum

ajucha · 09. 11. 2013 13:42

nevim si vubec rady s příkladem, kde mám vypočítat obsah trojúhelníků, když známe obsah jednoho trojúhelníka. Nepomohl by mi někdo, prosím?
zadání: Na straně BC trojúhleníka ABC jsou dány body P, Q tak, že |BP|=|PQ|=|QC|. Dále de dán bod R jako střed úsečky AC a průsečík M přímek AP a BR. Vite-li, že |BPM|=1, určtebe obsahy S1=|PMRQ|, S2=|CRQ|, S3=|AMR|, S4=|ABM|.
Mám nakreslený obrázek, z kterého vím, že uhle |BMP| je shodný s uhlem |RMA|, a uhel |PMR| je shodny s uhlem |AMB|. Jak ale pokracovat?

jelena · 09. 11. 2013 16:06

Zdravím,

|BPM|=1 - rozumí se, že obsah trojúhelníku BPM je 1 kvadratická jednotka?

Začala bych tak, že si vyznačím výšku na str. BC jak v trojúhelníku BPM, tak v BQR. Potom platí, že poměr obsahu těchto trojúhelníků je $k^2=4$ . Koeficient stejnolehlosti $k$ jsem odvodila z podobnosti trojúhelníků BMP a BRQ.
Odsud mám obsah PMRQ (jen to není trojúhelník, ale čtyřúhelník - tak?) $S1=\Delta BRQ-\Delta BMP$ (lze dosadit).

Potom zkus pracovat, že strana BC je rozdělena na 3 stejné díly, AC na 2 stejné díly a ještě si promyslet poměry obsahu (obdobně 1. úvaze). Podaří se pokračovat? Děkuji.

ajucha · 09. 11. 2013 18:02

↑ jelena:
Když je tedy koeficient stejnolehlosti trojúhelníku BMP a BRQ roven 2, tak obsah trojúhelniku BRQ je 3? Nebo jak z koeficientu zjistím obsah trojúhelníku BRQ? Úvaho chápu, jen teď nevím, kolik je obsah toho trojúhelníku BRQ.
Dále vím, že jsou nějak podobné trojuhelniky BMP a AMR. Koeficient stejnolehlosti z bodu M je 2/3 - je to tak?
Nevím si rady.

jelena · 09. 11. 2013 20:22

↑ ajucha:

koeficient stejnolehlosti k mám pro délkové rozměry, potom pro obsahy je "koeficient stejnolehlosti" $k^2$ . Pokud platí $|BRQ|/|BMP|=4$ , potom $|BRQ|=4|BMP|$ (pokračuji používat Tvé označení pro obsahy). Došla jsem na to tak, že vzorec pro trojúhelník je $S=\frac{av_a}{2}$ , strany BQ a BR jsou v poměru 2:1, výšky také.

My můžeme tento závěr používat i dál, jelikož v trojúhelníku RCQ máme stejnou výšku jako v BRQ, ale poloviční délku strany ( $|QC|=|BQ|/2$ ), opět lze odvodit výsledek pro poměr obsahu.

Zkusila jsem tuto úlohu pohledat - mají jinak úvodní předpoklad - vycházejí, že PM je střední příčka, ale potom je to podobné jako naše úvahy.

Tak se ještě ozvi, zda se podařilo (to popisování je náročné, abych nepřehodila písmenka a tak zmařila celý postup).

Matematické Fórum

#1 09. 11. 2013 13:42

obsahy trojúhelníků

#2 09. 11. 2013 16:06

Re: obsahy trojúhelníků

#3 09. 11. 2013 18:02

Re: obsahy trojúhelníků

#4 09. 11. 2013 20:22

Re: obsahy trojúhelníků

Zápatí