Matematické Fórum

TommyInferno

Můžete mi někdo poradit? Po dosazení mi výjde, že tg x je neřešitelná. Mám ji tedy vypustit? Nebo již má tato limita výsledek?

jelena · 10. 11. 2013 14:56

Zdravím,

vyloženě "neřešitelná limita" to asi není ideální pojem. Co znamená

tg x je neřešitelná.

Zkusila bych upravit ke společnému jmenovateli a podívat se, co se dá udělat. Také je dobré překontrolovat, zda je zadání v pořádku + zkontrolovat si výsledek ve WA alespoň pro představu, zda není překlep v zadání.

bismarck · 10. 11. 2013 15:57

↑ TommyInferno:

substitúcia
$x-\frac{\pi}{2}=t$
$x=t+\frac{\pi}{2}$
$t+\frac{\pi}{2}\to\frac{\pi}{2}$
$t\to0$

Dosadíme
$\lim_{t\to0}tan(t+\frac{\pi}{2})+\frac{1}{t}$

Upravíme tangens
$tan(t+\frac{\pi}{2})=\frac{sin(t+\frac{\pi}{2})}{cos(t+\frac{\pi}{2})}$ sínus a kosínus rozpíšeme podľa vzorca
$sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)$ a $cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)$
Malo by vyjsť $tan(t+\frac{\pi}{2})=-cot(t)$

$\lim_{t\to0}tan(t+\frac{\pi}{2})+\frac{1}{t}=\lim_{t\to0}\frac{1}{t} -\frac{cos(t)}{sin(t)}=\lim_{t\to0}\frac{sin(t)-t\cdot cos(t)}{t\cdot sin(t)}=$ [0/0] použijeme L´Hop.
$=\lim_{t\to0}\frac{cos(t)-cos(t)+t\cdot sin(t)}{t\cdot cos(t)+sin(t)}=\lim_{t\to0}\frac{t\cdot sin(t)}{t\cdot cos(t)+sin(t)}=$ opäť použijeme L´H
$\lim_{t\to0}\frac{t\cdot cos(t)+sin(t)}{-t\cdot sin(t)+2cos(t)}=0$

Poďla toho je výsledok $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}tgx+\frac{1}{x-\frac{\pi}{2}}=0$

jelena · 10. 11. 2013 19:13

↑ bismarck:

Zdravím a nepochybně výkon zasluhuje obdiv, jen taková moje poznámka - o nabízení kompletních řešení jsme již spolu mluvili. V tomto případě dokonce i rozumím, že "neřešitelná limita" je taková výzva.

Ovšem, když se podíváš na úvodní příspěvek kolegy, tak v problematice limit buď se ještě nezorientoval dostatečně, nebo jen ne zcela jasně formuloval svůj dotaz

Po dosazení mi výjde, že tg x je neřešitelná. Mám ji tedy vypustit? Nebo již má tato limita výsledek?

Tedy v tomto konkrétním momentu nabídka řešení může sice vyřešit poptávku po výsledku, ale nepomůže příliš k další práci kolegy. U další limity se může zaseknout znova na obdobném dotazu. Tedy "krokové posunutí" - od překontrolování zápisu, přes ujasnění "co pro vyšetření limity znamená, že funkce v dosazovaném bodě není definována", přes použití nástrojů pro náhled na výsledek + krokové nápovědy k samotnému vyšetření limity.

-----------------------
K problému: původně jsem předpokládala, že k výsledku povede použití vzorců pro "přeměnu cos na sin a naopak", ale to se mi nepodařilo. Podařilo se mi po přepisu:

$\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{1}{x-\frac{\pi}{2}}$

potom úpravě na společný jmenovatel a použití 2x l´Hospital dojit ke stejnému výsledku, jak máš. Bohužel, užití l´Hospital je takové zklamání :-(

Pořád nevím, co autor tématu myslel svou větou v úvodním příspěvku? Děkuji.

Jenda358 · 11. 11. 2013 18:59

jelena napsal(a):
Bohužel, užití l´Hospital je takové zklamání :-(.

Zdravím v tématu.
Myslím, že L'Hospitalovu pravidlu se dá vyhnout následujícím způsobem:
Vyjdu už z limity, ke které se dostal kolega bismarck $\lim_{t\to0}\frac{sin(t)-t\cdot cos(t)}{t\cdot sin(t)}$ .
Využiju toho, že na pravém okolí nuly platí ${sin(t)-t\cdot cos(t)}>0$ a také $\sin(t)<t$ . Tyto dvě nerovnosti lze ukázat např. za použití jednotkové kružnice (tu druhou triviálně).
Při počítání limity zprava tedy můžeme použít
$0<\frac{sin(t)-t\cdot cos(t)}{t\cdot sin(t)}<\frac{t-t\cdot cos(t)}{t\cdot sin(t)}$ .
Limita nuly je nula a limita toho výrazu napravo je také nula (to lze snadno spočítat i bez L'Hospitala), takže podle věty o třech limitách je i původní limita (zatím ale jen zprava) rovna nule.
Limitu zleva lze určit analogicky (nebo možná stačí nějak aplikovat fakt, že ta funkce je lichá).

Matematické Fórum

#1 10. 11. 2013 12:07 — Editoval TommyInferno (10. 11. 2013 12:17)

Neřešitelná limita

#2 10. 11. 2013 12:08 Příspěvek uživatele TommyInferno byl skryt uživatelem TommyInferno.

#3 10. 11. 2013 12:17 Příspěvek uživatele TommyInferno byl skryt uživatelem TommyInferno.

#4 10. 11. 2013 14:56

Re: Neřešitelná limita

#5 10. 11. 2013 15:57

Re: Neřešitelná limita

#6 10. 11. 2013 19:13

Re: Neřešitelná limita

#7 11. 11. 2013 18:59

Re: Neřešitelná limita

jelena napsal(a):

Zápatí