Matematické Fórum

lejzr · 14. 11. 2013 23:00

Ahoj,
jak toto sečíst:

$\sum_{x=1}^{\infty }x(1/2)^x$ .

Nebyl by někdo ochotný mě alespoň trknout? Díky.

Brano · 14. 11. 2013 23:52

Je na to takyto trik - hlbsiu teoriu preco to funguje asi nepotrebujes.

$\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}$
a teraz sa zderivuju obe strany
$\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$
a teda
$\sum_{n=1}^\infty n(1/2)^n=\frac{1/2}{(1/2)^2}=2$

lejzr · 14. 11. 2013 23:57

Děkuju moc. Výsledek jsem znal. Teď by mě ještě ale zajímalo, na základě čeho (věta,...?) můžu říct, že ta derivace pro tu stranu se sumou je takto platná.

lejzr · 15. 11. 2013 00:00

A ještě by mě, prosím, zajímala úprava z toho druhého do třetího kroku. Díky moc.

LukasM · 15. 11. 2013 00:24

↑ lejzr:
Ta rovnost platí pro libovolné $|x|<1$ . Takže třeba pro $x=\frac{1}{2}$ . Proto zvolíme právě takové x, potom vypadne ta suma co počítáš. Navíc Brano ze sumy vyhodil první člen. To je úplně jedno, protože je stejně nulový. Tolik ke druhému kroku.

Že derivace nějaké konečné sumy $\left(\sum_{n=0}^Nf(x)\right)^{\prime}=\sum_{n=0}^Nf^{\prime}(x)$ , to je jasné, plyne to okamžitě z linearity derivace. Takovou sumu můžu derivovat "člen po členu". Co už jasné není je jestli to platí i pro nekonečnou sumu. V našem případě (obecně ne) je odpověď na otázku kladná, ale myslím že zdůvodnění překračuje rámec středoškolské matematiky. Vyplývá to z vlastností mocninných řad.

Brano · 15. 11. 2013 00:28 — Editoval Brano (15. 11. 2013 00:32)

↑ lejzr:
tak najprv ta uprava:

clen pre $n=0$ sa moze vynechat, lebo je nulovy a potom staci dosadit $x=1/2$ a este celu rovnost prenasobit 1/2.

je taka pomerne zakladna veta v analyze, ktora hovori, ze rady
$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-s)^n$
(kde $s$ je nejaka fixna konstanta - stred) a jeho formalna derivacia clen po clene
$\sum_{n=0}^\infty na_n(x-s)^{n-1}$
maju ten isty polomer konvergencie - povedzme $R$ a vnutri intervalu $|x-s|<R$ (disku, ak si na komplexnych cislach) plati to, ze ak si sucet prveho oznacime $f(x)$ tak ta funkcia je diferencovatelna a jej derivacia $f'(x)$ je sucet druheho radu

tu mas aj dokaz
http://www.proofwiki.org/wiki/Power_Ser … onvergence
okrem casti, ze polomery konvergencie sa naozaj zhoduju, ale to vyplyva napr. z Cauchy-Hadamardovej vety

lejzr · 15. 11. 2013 00:55

Děkuju mockrát!!!

A jde něco podobného aplikovat pro sumu $\sum_{x=1}^{\infty }x^2 (1/2)^x$

Brano · 15. 11. 2013 02:10

↑ lejzr:
radsej sa budem drzat toho svojho znacenia $n$ v exponente a indexe, lebo davat tam $x$ sa mi zda velmi neesteticke

znova pre
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}$

si vyjadri $f'(x), f''(x)$ a $x^2f''(x)+xf'(x)$