Matematické Fórum

Dekadent · 16. 11. 2013 11:18

Dobry den

mam tento priklad

$\int_{K}^{}\frac{1}{x}*arctg\frac{y}{x}dx+\frac{2}{y}*arctg\frac{x}{y}dy$

Kde $K$ je hranica oblasti $1\le x^{2}+y^{2}\le 4$ a $x\le y\le x*\sqrt{3}$ orientovana kladne.

Vysledok ma byt $\frac{\pi }{12}*ln 2$ .

Netusim ako si nakreslit kompletne obrazok, viem len ze to ma byt medzikruzie medzi $\langle|1;2|\rangle$ a jedna priamka by mala mat $\frac{\pi }{3}$ a druhu neviem ako vyjadrit a ani co si dosadim za (Q a P, v niektorej literature uvadzane ako A a B vid forum.matematika) ...v tomto priklade som totalne strateny, nejake našeptávačky asi nebudu mat velky zmysel...

Dakujem

jelena · 16. 11. 2013 13:49

Zdravím,

Greenova věta je taková přímočará metoda - když se podíváš pořádně na vzorec, tak potřebuješ derivovat P, Q (nebo A, B, nebo jak označíš funkce f(x, y)) podle správně zvolené proměnné + stanovení mezí pro dvojný integrál.

Mezikruží jsi určil dobře, tato podmínka $x\le y\le x*\sqrt{3}$ zadává omezení pomocí 2 přímek, ale $\frac{\pi }{3}$ nějakou souvislost nemá (pokud jsi již nějak nespojil s úhlem, co vytne na kružnici. Zkus nejdřív pořádně rozepsat přímky.

Derivování - byl nějaký problém? Pro kontrolu (i pro samotný křivkový integrál můžeš používat MAW). Tak s tím ještě pohni, prosím.

Dekadent · 17. 11. 2013 17:21

stale som sa nepohol s tym "omezenim", lebo ani neviem ako z $x\le y\le x*\sqrt{3}$ vyjadrit obidve priamky a ani neviem ci ta jedna $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cize $\frac{\pi }{3}$ je vyjadrena spravne :)

Dik
↑ jelena:

jelena · 17. 11. 2013 18:47

↑ Dekadent:

nerovnice $x\le y\le x*\sqrt{3}$ obsahuje 2 omezující přímky: oblast je nad přímkou $y=x$ a pod přímkou $y=\sqrt{3}\cdot x$ . Jaká je odchylka první přímky od osy x a jaké je odchylka 2. přímky od osy x? To nám udá meze pro úhel $\varphi$ (pokud výhledově uvažuješ polární souřadnice).

neviem ci ta jedna $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cize $\frac{\pi }{3}$ je vyjadrena spravne :)

k těmto číslům jsi nějak přišel, tak si sám zdůvodní jak a budeš vědět, zda je správně (a co vůbec takový zápis znamená?)

Do MAW jsi zkoušel zadávat? Děkuji.

Jj · 17. 11. 2013 19:09

↑ Dekadent:

Dobrý den,
obrázek hranice oblasti (útvar ABCD):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jelena · 18. 11. 2013 00:20

↑ Jj:

Zdravím Vás a děkuji za názorný obrázek,
ve výsledku se shodujeme, jen se pokouším kolegu navést, že způsob, jakým popisuje odchylku "některé" přímky, není zrovna nejpřehlednější a ve fázi práci s křivkovým integrálem už by neměl být tak formulován. Nebo je třeba si zopakovat lineární funkce (mezikruží kolega zvládl dobře).

lukelee36 · 29. 12. 2016 13:41

Dobrý den

Nedávno jsem počítal stejný příklad a řešil jej v jiném tématu. Příklad jsem dopočítal, ale nedošel jsem k úplně stejnému výsledku $\frac{1}{12}\pi \ln 2$ .

Postupoval jsem takto:
- abych mohl dostadit do vzorce z greenovy věty, tak..
$\oint_{\partial C=k}A(x,y)\,\rm{d}x+B(x,y)\,\rm{d}y=\int\int_{C}\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial y}\,\rm{d}x\rm{d}y$

$A_{(x,y)}=\frac{1}{x}arg\text{tg}(\frac{y}{x})$

$B_{(x,y)}=\frac{2}{y}arg\text{tg}(\frac{x}{y})$

Výpočet parciálních derivací:
$\frac{\partial A_{(x,y)}}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$

$\frac{\partial B_{(x,y)}}{\partial y}=\frac{2}{x^{2}+y^{2}}$

-poté bylo zapotřebí určit meze, převedl jsem tedy na x,y na polární souřadnice

$x= r * \cos (\varphi)$
$y= r * \sin (\varphi)$
$J = r$

-ještě je zapotřebí určit $d\varphi dr$
$dr = 2- 1=1$
- jako rozdíl poloměrů kruhové výseče
- pro $d\varphi$ potřebuji znát posunutí $d\varphi$ od počátku u obou omezujících přímek
- proto dosadím do podmínek nové souřadnice
- pro je jasné $x \le y \Rightarrow \frac{\pi}{4}$
- pro $y \le x*\sqrt{3}$ již musím dosadit
$y \le x*\sqrt{3} \Rightarrow r*\sin (\varphi )\le r*\cos (\varphi ) * \sqrt{3}$
- výsledný vztah je pak
$\text{tg}(\varphi ) = \sqrt{3} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{3}$
- platí tedy
$d\varphi = \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4} = \frac{1}{12}\pi$

-tím pádem mám i meze..

$\int_{}^{}\int_{C}^{}\frac{2}{x^{2}+y^{2}}-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}dxdy = \int_{1}^{2}\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}r*\frac{2}{(r*\cos \varphi )^{2}+(r*\sin \varphi )^{2}}-\frac{1}{(r*\cos \varphi )^{2}+(r*\sin \varphi )^{2}}d\varphi dr =$
$\int_{1}^{2}\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}r*1d\varphi dr = \int_{1}^{2}r*[\varphi ]^{\frac{\pi }{3}}_{\frac{\pi }{4}}dr=\frac{1}{12}\pi *[\frac{r^{2}}{2}]_{1}^{2}= \frac{1}{12}\pi *[\frac{4}{2}-\frac{1}{2}]= \frac{1}{12}\pi *\frac{3}{2}=\frac{1}{8}\varphi$

- čož se s původním výsledkem neshoduje, mohli by jste mi poradit kde dělám chybu?

Al1 · 29. 12. 2016 14:00 — Editoval Al1 (29. 12. 2016 14:06)

↑ lukelee36:

Zdravím,
opravuji
$\int_{}^{}\int_{C}^{}\left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)dxdy =\int_{}^{}\int_{C}^{}\frac{1}{x^{2}+y^{2}}dxdy=\nl \int_{1}^{2}\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}r\cdot \frac{1}{(r\cdot \cos \varphi )^{2}+(r\cdot \sin \varphi )^{2}}d\varphi dr = \int_{1}^{2}\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}r\cdot \frac{1}{r^{2}}d\varphi dr =\ldots$

poznámka: v tvém výpočtu chybí závorka
$\int_{}^{}\int_{C}^{}\frac{2}{x^{2}+y^{2}}-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}dxdy = \int_{1}^{2}\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}r*\left(\frac{2}{(r*\cos \varphi )^{2}+(r*\sin \varphi )^{2}}-\frac{1}{(r*\cos \varphi )^{2}+(r*\sin \varphi )^{2}}\right)d\varphi dr =$

lukelee36 · 29. 12. 2016 14:16

↑ Al1:
Děkuji, tohle jsem opomněl, nyní již vše vychází jak má.

Matematické Fórum

#1 16. 11. 2013 11:18

Krivkovy integral s pouzitim Greenovej vety

#2 16. 11. 2013 13:49

Re: Krivkovy integral s pouzitim Greenovej vety

#3 17. 11. 2013 17:21

Re: Krivkovy integral s pouzitim Greenovej vety

#4 17. 11. 2013 18:47

Re: Krivkovy integral s pouzitim Greenovej vety

#5 17. 11. 2013 19:09

Re: Krivkovy integral s pouzitim Greenovej vety

#6 18. 11. 2013 00:20

Re: Krivkovy integral s pouzitim Greenovej vety

#7 29. 12. 2016 13:41

Re: Krivkovy integral s pouzitim Greenovej vety

#8 29. 12. 2016 14:00 — Editoval Al1 (29. 12. 2016 14:06)

Re: Krivkovy integral s pouzitim Greenovej vety

#9 29. 12. 2016 14:16

Re: Krivkovy integral s pouzitim Greenovej vety

Zápatí