Matematické Fórum

Matiniela · 19. 11. 2013 11:58

Zdravím mám tento příklad a nevím si s ním vůbec rady:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-11/58714_Sn%25C3%25ADmek%2Bobrazovky%2B2013-11-19%2Bv%25C2%25A011.58.15.png

Díky za rady

Jj · 19. 11. 2013 12:05

↑ Matiniela:

Dobrý den. Moivreova věta např tady:

http://cs.wikipedia.org/wiki/Moivreova_v%C4%9Bta

A s čím konkrétně je problém?

auditor · 19. 11. 2013 15:12

Doporučuji začít vyjádřením komplexního čísla c v goniometrickém tvaru.

Matiniela

Tak vyjádřeno snad správně. Vím, že musím teď spočítat alfu, ale nevím jak.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-11/71385_obr%25C3%25A1zek.JPG

auditor · 19. 11. 2013 16:01

Pokračoval bych použitím Moivrovy věty (viz. odkaz: http://cs.wikipedia.org/wiki/Moivreova_v%C4%9Bta) k výpočtu $c^{8}$ a $\sqrt[8]{c}$ .

Matiniela · 19. 11. 2013 16:18

Tohle mi vyšlo vůbec netuším jestli je to dobře.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-11/74317_obr%25C3%25A1zek.JPG

Jj · 19. 11. 2013 16:43 — Editoval Jj (19. 11. 2013 16:54)

↑ Matiniela:

Řekl bych, že pokud sinus i cosinus je záporný, pak úhel leží
ve třetím kvadrantu, a

$\alpha = 240° = \frac{4}{3}\pi$

$[cos(4\pi/3)+isin(4\pi/3)]^8=cos(32\pi/3)+isin(32\pi/3)=$
$=cos(2\pi/3)+isin(2\pi/3)=-\frac12+i \frac{\sqrt3}{2}$

Matiniela

Chci se zeptat kde jste vzal najednou u cos a sin 2 $\pi$ /3?

Jj · 19. 11. 2013 18:17 — Editoval Jj (19. 11. 2013 18:20)

↑ Matiniela:

To vyplývá z periodicity funicí sinus a kosinus (perioda = ${2\pi}$ ). Pro ${32\pi/3}$ tyto funkce
mají stejnou funkční hodnotu jako pro ${\frac{30\pi + 2\pi}3=10\pi +\frac{2\pi}{3}}$ . Hodnotu
$10\pi = 5\cdot (2\pi)$ , tj. 5 celých period, je tudíž možno vypoustit a uvažovt jen hodnotu $\frac{2\pi}{3}$ .

Matiniela · 19. 11. 2013 18:45

Ano už je to jasné. :-) Teď nevím jak se počítá ta odmocnina je to stejný princip jako s mocninou jen vše budu násobit osmou odmocninou?

Jj · 19. 11. 2013 19:20 — Editoval Jj (20. 11. 2013 19:15)

↑ Matiniela:

Osmá odmocnina (|c|=1):

$[1*(cos(4\pi/3)+i\cdot sin(4\pi/3)]^\frac{1}{8}=\sqrt[8]{1}[ cos(\frac{4\pi/3+2k\pi}{8})+i\cdot sin(\frac{4\pi/3+2k\pi}{8})]=$
$=cos(\frac{4\pi/3+2k\pi}{8})+i\cdot sin(\frac{4\pi/3+2k\pi}{8})$

Za 'k' dosazujte do vzorce postupně 0, 1, 2, .... 6, 7 a dostanete 8 osmých odmocnin
z čísla 'c' uvedeného v zadání.

Doplnění: pro zjednodušení ještě úprava vzorce (platí jen pro uvedenou osmou odmocninu!):

$=cos(\pi/6+k\pi/4)+i\cdot sin(\pi/6+k\pi/4)$

Matiniela · 20. 11. 2013 13:06

Chci se zeptat zde mám výpočet když se dosadí za k=0. Zda je to správně?

Ještě se chci zeptat jak mám označovat ty výpočty všechno jako osmá odmocnina c?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-11/49113_obr%25C3%25A1zek.JPG

Jj · 20. 11. 2013 19:00 — Editoval Jj (20. 11. 2013 19:00)

↑ Matiniela:

Výpočet pro k=0 je podle mě správně. Ano, každé z osmi takto získaných čísel je osmá odmocnina z 'c'. Každé z nich umocněné na osmou musí dát číslo c.

Matiniela · 20. 11. 2013 19:03

Takze pokracovat ve vypoctu az do k=7 a pak vypsat vsechny vysledky? Napriklad c1, c2..., c7?

Jj · 20. 11. 2013 19:14

↑ Matiniela:

Ano, pokračovat až do k=7, do řešení patří všechny výsledky.

Matiniela · 20. 11. 2013 19:28

A vsechny vysledky mam pak vypsat za sebe? Napriklad 8 $\sqrt{}$ c = a vypsat vsechny vysledky?

Jj · 20. 11. 2013 19:36

↑ Matiniela:

Řekl bych, že na tom už asi až tak nezáleží. Hlavně, abyste to dobře spočítal. Možná
by bylo dobré pro kontrolu výsledky ještě umocnit zpět na osmou a tím zkontrolovat
(vždy musíte opět dostat číslo c).

Matiniela · 22. 11. 2013 18:28

Ještě se chci zeptat když ten výsledek umocnuji zpět na 8 tak mi nikdy nevyjde číslo c ani v tom výsledku co jsem zde zveřejnil.

Jj · 22. 11. 2013 20:20

U↑ Matiniela:

Řekl bych, že umocnění Vámi zveřejněného výsledku osmé odmocniny z čísla c vychází správně:

$c = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
Vámi uvedená odmocnina čísla c:
$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i=\cos (\pi/6) + i \sin(\pi/6)$
Její zpětné umocnění na osmou:
$(\cos (\pi/6) + i \sin(\pi/6))^8=\cos (8\pi/6) + i \sin(8\pi/6)$
$=\cos (4\pi/3) + i \sin(4\pi/3)=-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ , což je původní číslo.

Matiniela · 22. 11. 2013 22:43

Zde mám výsledek, když dosadím za k=1. Mělo by to být správně, ale zkouška umocněním na 8 nevychází. k=2 mi vyšlo správně, ale ostatní výsledky vychází jinak než číslo c.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-11/56485_obr%25C3%25A1zek.JPG

Jj · 23. 11. 2013 14:54

↑ Matiniela:

Osmé odmocniny z
$c = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
pro kontrolu viz tady: http://www.wolframalpha.com/input/?i=ta … k%3D0+to+7

(jen opisováním se to ještě nikdo nenaučil!).

Matiniela · 23. 11. 2013 17:29

Děkuji velice tohle mi pomohlo všechny výsledky mám správně jen kalkulačka nebrala všechny místa.
Ještě jednou Vám za vše děkuji i za Vaší trpělivost. :-)

Matematické Fórum

#1 19. 11. 2013 11:58

Moivrevova věta

#2 19. 11. 2013 12:05

Re: Moivrevova věta

#3 19. 11. 2013 12:22 Příspěvek uživatele Matiniela byl skryt uživatelem Matiniela.

#4 19. 11. 2013 15:12

Re: Moivrevova věta

#5 19. 11. 2013 15:23 — Editoval Matiniela (19. 11. 2013 15:46)

Re: Moivrevova věta

#6 19. 11. 2013 16:01

Re: Moivrevova věta

#7 19. 11. 2013 16:18

Re: Moivrevova věta

#8 19. 11. 2013 16:43 — Editoval Jj (19. 11. 2013 16:54)

Re: Moivrevova věta

#9 19. 11. 2013 17:03 — Editoval Matiniela (19. 11. 2013 17:03)

Re: Moivrevova věta

#10 19. 11. 2013 18:17 — Editoval Jj (19. 11. 2013 18:20)

Re: Moivrevova věta

#11 19. 11. 2013 18:45

Re: Moivrevova věta

#12 19. 11. 2013 19:20 — Editoval Jj (20. 11. 2013 19:15)

Re: Moivrevova věta

#13 20. 11. 2013 13:06

Re: Moivrevova věta

#14 20. 11. 2013 19:00 — Editoval Jj (20. 11. 2013 19:00)

Re: Moivrevova věta

#15 20. 11. 2013 19:03

Re: Moivrevova věta

#16 20. 11. 2013 19:14

Re: Moivrevova věta

#17 20. 11. 2013 19:28

Re: Moivrevova věta

#18 20. 11. 2013 19:36

Re: Moivrevova věta

#19 20. 11. 2013 19:40 — Editoval Matiniela (22. 11. 2013 18:27) Příspěvek uživatele Matiniela byl skryt uživatelem Matiniela.

#20 22. 11. 2013 18:28

Re: Moivrevova věta

#21 22. 11. 2013 20:20

Re: Moivrevova věta

#22 22. 11. 2013 22:43

Re: Moivrevova věta

#23 23. 11. 2013 14:54

Re: Moivrevova věta

#24 23. 11. 2013 17:29

Re: Moivrevova věta

Zápatí