Matematické Fórum

Pavel Brožek · 13. 11. 2008 17:34

Narazil jsem na internetu na tvrzení (zde), že existuje funkce, která na libovolném intervalu nabývá všech reálných hodnot. Není ovšem uvedena, je pouze napsáno, že její popis sahá hluboce nad rámec středoškolských znalostí. Nalezneme tedy takovou funkci?

lukaszh · 13. 11. 2008 23:50

↑ BrozekP:
Ak to nie je nad rámec ľudskej predstavivosti, tak snáď áno :-)

Lishaak · 14. 11. 2008 09:24

Dulezite pozorovani, takova funkce bude nespojita v kazdem bode, nebot kdyby byla v nejakem bode spojita, bude na nejakem okoli tohoto bodu omezena, coz ovsem nechceme.

Olin · 21. 11. 2008 15:56

Trochu jsem nad tím přemýšlel a napadlo mě - co to nějak napojit na věci typu Lorenzův atraktor? Že by třeba byly nějak vstupní parametry atraktoru σ, ρ, β závislé na x a y by se počítal ze souřadnic ("čas" t by taky mohl být třeba závislý na x).

Prostě jsem si vybavil onu otřepanou frázi "malá změna počátečních podmínek vyústí ve velkou změnu výsledků" nebo tak nějak.

Pavel Brožek · 21. 11. 2008 16:14

↑ Olin:

Když jsme probírali ve škole dvojkyvadlo (kyvadlo zavěšené na kyvadlu, pro velké výchylky a rychlosti se chová chaoticky), vzpomněl jsem si na tuto úlohu, ale opustil jsem tuto myšlenku, protože sice pro malou změnu počátečních podmínek se to chová po jisté době naprosto odlišně, ale když si vezmeme velmi malou změnu počátečních podmínek, po dlouhou dobu jsou rozdíly v pohybech zanedbatelné, až v jednu chvíli se to "utrhne" a začne se to chovat jinak. Když si tedy vezmu závislost polohy kyvadla v čase t (konečném) na počátečních podmínkách, chová se to velmi divoce, ale stále je ta závislost spojitá a to by byl problém, jak ukázal Lishaak. Nevím ale, jak moc je toto srovnatelné s tím co navrhuješ ty.

Kondr · 24. 11. 2008 11:47 — Editoval Kondr (26. 11. 2008 21:04)

Nejsem analytik, ale: situaci si můžeme ulehčit tím, že budeme hledat funkci ne z R do R, ale z (0,1) do (0,1), tu pak periodicky zopakujeme, proženeme funkcí tg s upravenou periodou, v celých číslech nějak doplníme a dostaneme hledanou funkci.

Můžeme využít faktu, že pokud jsou x,y dvě iracionální čísla taková, že x nejde vyjádřit jako py+q pro p, q racionální, pak množina {d(nx),d(ny)} je hustá v (0,1)^2 a je zřejmě funkcí. Každá takováto množina nám definuje funkci ve spočetně mnoha bodech. Když vezmeme nespočetně mnoho takových to množin (vhodně zvolených *), dostaneme kýženou funkci.

----
* Jen nevím jak :o)

kaja.marik

myslim ze jsem neco podobneho videl v knize counterexamples in analysis
strana 31, priklad 25 a udelat to, co navrhuje Kondr, jenom pouzit tangens misto arkustangensu.
-----------------------------------
Zpíval dál a všichni tiše poslouchali. Starý pan řídící ve vzpomínkách viděl se v kostelíku rodného městečka, když byl takovým hošíkem jako Kája. Tenkrát také zpíval s ostatními tuhle koledu.

Kondr · 26. 11. 2008 21:03

↑ kaja.marik:Samozřejmě, tangens, spraveno.

Pavel Brožek

Zde jsem našel tu funkci:

A function that takes every real value in every open interval.

Given a real number x, let N(n) denote the number of zeroes in the decimal expansion of x up to the nth place. Define g(x) to be the limit as n approaches infinity of N(n)/n if this limit exists, and zero otherwise. Then g(x) takes every value in the closed unit interval, for x ranging across any arbitrary open interval, since only the first finitely many digits of x are specified, which doesn't affect the limit. Consequently, if f is a surjection from the closed unit interval to the set of real numbers, then f(g(x)) has the desired property.

OT:

Možná teď nějakou dobu nebudu přispívat, pokusím se počítadlo přetočit vyřešením Marianovy Listopadové nerovnosti s odmocninou :-)

Marian · 22. 01. 2009 17:39 — Editoval Marian (22. 01. 2009 17:40)

BrozekP napsal(a):
OT:

Možná teď nějakou dobu nebudu přispívat, pokusím se počítadlo přetočit vyřešením Marianovy Listopadové nerovnosti s odmocninou :-)

Jsem plný očekávání. Ta problémová nerovnost se mi na začátku nezdála tak náročná.
:-)

PS: Počítadlo jsem již převrhl do druhé tisícovky, snad to prospěje někomu ...

jelena · 25. 01. 2009 22:23

↑ BrozekP:, ↑ Marian:

Zdravím vás :-)

trošku mi dělate zmatek ve statistikách - měla jsem za to, že k 1000 dojdete zároveň a měla jsem pro vás připravenou i darkovou variantu "Listopadové nerovnosti". Kolega BrozekP se nám ovšem transformoval, tak to nebude mít takový efekt.

Ale nemohu vynechat přiležitost pozdravit Mariana a srdečně blahopřat k dosažení statutu Q :-) a těším se na další krasné (nejen obsahově, ale i na pohled) příspěvky.

Kolegovi BrozekP přejí úspěšné řešení problému a budu se těšít na setkání v každé (třeba i transformované) podobě :-)

Matematické Fórum

#1 13. 11. 2008 17:34

Funkce, jejíž graf je hustý v R^2 (a to není vše)

#2 13. 11. 2008 23:50

Re: Funkce, jejíž graf je hustý v R^2 (a to není vše)

#3 14. 11. 2008 09:24

Re: Funkce, jejíž graf je hustý v R^2 (a to není vše)

#4 21. 11. 2008 15:56

Re: Funkce, jejíž graf je hustý v R^2 (a to není vše)

#5 21. 11. 2008 16:14

Re: Funkce, jejíž graf je hustý v R^2 (a to není vše)

#6 24. 11. 2008 11:47 — Editoval Kondr (26. 11. 2008 21:04)

Re: Funkce, jejíž graf je hustý v R^2 (a to není vše)

#7 26. 11. 2008 20:58 — Editoval kaja.marik (26. 11. 2008 20:59)

Re: Funkce, jejíž graf je hustý v R^2 (a to není vše)

#8 26. 11. 2008 21:03

Re: Funkce, jejíž graf je hustý v R^2 (a to není vše)

#9 19. 01. 2009 23:35 — Editoval BrozekP (19. 01. 2009 23:41)

Re: Funkce, jejíž graf je hustý v R^2 (a to není vše)

#10 22. 01. 2009 17:39 — Editoval Marian (22. 01. 2009 17:40)

Re: Funkce, jejíž graf je hustý v R^2 (a to není vše)

BrozekP napsal(a):

#11 25. 01. 2009 22:23

Re: Funkce, jejíž graf je hustý v R^2 (a to není vše)

Zápatí