Matematické Fórum

Fijojo · 23. 11. 2013 01:02 — Editoval Fijojo (23. 11. 2013 01:07)

Dobrý den, potřeboval bych opět poradit. Tentokrát s metodou neurčitých koeficientů:

Jedná se mi o tyto tři příklady

A) $\int_{}^{}\sqrt{3+2x-x^2}dx$
B) $\int_{}^{}\sqrt{x^2-2x-1}dx$
C) $\int_{}^{}\sqrt{2+x-x^2}dx$

potřeboval bych každý příklad sestavit do této výchozí podoby, nějak mi to nejde.. (derivaci, úprava na rovnost polynomů atd. už doufám zvládnu sám).

$\int_{}^{}\frac{P(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx=Q(x)\sqrt{ax^2+bx+c}+k\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx+C$

Zvládl jsem spočítat dva příklady: Takto jsem postupoval:

oba byly podobné:

např. jeden z nich:

$\int_{}^{}\sqrt{1-x^2}dx$

1. úprava:

$\int_{}^{}\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=(ax+b)\sqrt{1-x^2}+k\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx+C$

následně derivování:

$\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}=a\sqrt{1-x^2}+(ax+b)\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(-2x)+k\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Pak jsem to vynásobil výrazem s odmocninou

$1-x^2=a(1-x^2)+(ax+b)(-x)+k$
$1-x^2=a-ax^2-ax^2-bx+k$
$1-x^2=a+bx+k$

a provedl jsem úpravu na získání rovnosti polynomů

$x^2:$ $-1=-2a$ $=> a=\frac{1}{2}$

$x^1:$ $0=b$

$x^0:$ $1=a+k$ $=> k=\frac{1}{2}$

Dosadil jsem získané a/b/k

$\int_{}^{}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}arcsinx+C$

________________________________________
Snažil jsem se aplikovat tento přesný postup, ale nevyšlo mi to. Může mi prosím někdo s těmi příklady pomoct? Děkuji.

jelena · 23. 11. 2013 10:55

Zdravím,

tento postup pro $\int_{}^{}\sqrt{1-x^2}dx$ se ale podařil, potom bych předpokládala, že v dalších úlohách bude nějaký překlep při derivování nebo při hledání koeficientů. Ještě je možnost upravit výraz pod odmocninou na obdobný jako v podařené úloze $\sqrt{3+2x-x^2}=\sqrt{4-(1-2x+x^2)}dx$ a zavést drobnou substituci. Podaří se dokončit? Další obdobně.

Ještě jsem tuto úlohu řešila na více způsobů (pomocí sbírky od Hlaváčka), snad také bude k prospěchu (i když u vás má být použita metoda dle vzorce V-..., že ano?). Tak (dle Ostrogradského) je zapracováno i v MAW.

Fijojo · 23. 11. 2013 13:34 — Editoval Fijojo (23. 11. 2013 13:36)

Takto jsem postupoval, ale výsledku se to neblíží :( :o

$\int_{}^{}\sqrt{3+2x-x^2}dx=\int_{}^{}\frac{3+2x-x^2}{\sqrt{3+2x-x^2}}dx=(ax+b)\sqrt{3+2x-x^2}+k\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}}dx+C$

$\int_{}^{}\frac{3+2x-x^2}{\sqrt{3+2x-x^2}}=x\sqrt{3+2x-x^2}+(ax+b)\frac{1}{2\sqrt{3+2x-x^2}}(2-2x)+k\frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}}$

$3+2x-x^2=x(3+2x-x^2)+\frac{(ax+b)(2-2x)}{2} + k$

$3+2x-x^2=x(3+2x-x^2)+\frac{2ax+2b-2ax^2-2bx}{2}+ k$

$3+2x-x^2=3x+2x^2-3x^3+ax+b-ax^2-bx+k$

$x^3$ : $0=-1$

$x^2$ : $-1=2-a$ => $a=3$

$x^1$ : $2=3-b+a$ => $b=4$

$x^0$ : $3=b+k$ => $k=-1$

$\int_{}^{}\sqrt{3+2x-x^2}dx=(3x+4)\sqrt{3+2x-x^2}-\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}}dx+C=\ldots \ldots \ldots$

jelena · 23. 11. 2013 13:51

↑ Fijojo:

děkuji, hezké a přehledné. Řekla bych, že překlepy máš při derivování
$(ax+b)\sqrt{3+2x-x^2}$ a to u 1. členu.

Potom

$3+2x-x^2=x(3+2x-x^2)+\frac{2ax+2b-2ax^2-2bx}{2}+ k$

pro odstranění jmenovatele zlomku .../2 jsi celou rovnici vynásobil 2. Kde je to vidět v dalším řádku? Ale to opravuj až po opravě 1. derivování. Tak to ještě pro jistotu projdi, zda takových drobností není více.

Také se podívej na použití drobné substituce ↑ příspěvek 2: (bude daleko přehlednější)

Fijojo · 23. 11. 2013 19:30

↑ jelena:

Děkuji moc za radu, celá chyba byla v té derivaci. Místo $a\sqrt{3+2x-x^2}$ jsem to zderivoval jako $x\sqrt{3+2x-x^2}$ :))

jelena · 24. 11. 2013 12:01

↑ Fijojo:

děkuji za zprávu, ovšem i to násobení 2 bych překontrolovala. Ale už je to jasné, označím za vyřešené.

Fijojo · 24. 11. 2013 21:37

↑ jelena:

Spočítal jsem ten příklad kompletně. Vyšlo to. Chyba byla pouze v té derivaci. :). Já děkuji.

Matematické Fórum

#1 23. 11. 2013 01:02 — Editoval Fijojo (23. 11. 2013 01:07)

Integrace metodou neurčitých koeficientů

#2 23. 11. 2013 10:55

Re: Integrace metodou neurčitých koeficientů

#3 23. 11. 2013 13:34 — Editoval Fijojo (23. 11. 2013 13:36)

Re: Integrace metodou neurčitých koeficientů

#4 23. 11. 2013 13:51

Re: Integrace metodou neurčitých koeficientů

#5 23. 11. 2013 19:30

Re: Integrace metodou neurčitých koeficientů

#6 24. 11. 2013 12:01

Re: Integrace metodou neurčitých koeficientů

#7 24. 11. 2013 21:37

Re: Integrace metodou neurčitých koeficientů

Zápatí