Matematické Fórum

Mirgeee

Ahoj, jak by se prosím spočítala limita této posloupnosti? Vím, jak to rozepsat na sumu, ale co dál? Díky...

$\lim_{n\to \infty}n^{k-1}(\sqrt[k]{n^k +1} - \sqrt[k]{n^k -1})$

hribayz · 24. 11. 2013 14:28

$a^{k}-b^{k}=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+\ldots +b^{k-1})$
Do tohoto vzorce dosadíš za a, resp. za b ty dvě k-té odmocniny (celé, nikoliv pouze vnitřek) a vyjádříš jejich rozdíl jako podíl $\frac{a^k-b^k}{(a^{k-1}+a^{k-2}b+\ldots +b^{k-1})}$
což ti udělá podíl dvojky a součtu nějakých mocnin enka. Z toho už limita půjde.

Mirgeee · 26. 11. 2013 18:29

Sem jsem se dostal, ale nevím, jak pokračovat, dělá mi problém ta suma ve jmenovateli...

hribayz · 27. 11. 2013 00:32

Ahoj,

jasný, to je pak to jediné složité v té limitě.

Pokusím se ještě jednou popsat jak se dobrat výsledku, protože, přiznám se bez mučení, se mi to nechce počítat do konce :)

Ve jmenovateli teď máme součet spousty (k) členů. n jde k nekonečnu, takže nás zajímá u každého členu, jaká je nejvyšší mocnicna enka a jaký je před ním koeficient. Nebude tedy záležet na tom, jaká je mocnina členů s +1 a jaká je mocnina členů s -1, protože n^k tyto nižší mocniny převáží. Máme tedy ve jmenovateli součet k členů, které se limitně chovají jako $(\sqrt[k]{n^k})^{k-1}$ , celkově tedy limita dopadne jako $\lim_{n\to\infty}\frac{n^{k-1}}{k\cdot(\sqrt[k]{n^k})^{k-1}}=\frac{1}{k}$

Korektně by se výpočet provedl přes převedení $n^{k-1}$ dovnitř odmocniny a zdůvodnění přes aritmetiku limit, že ve jmenovateli je k jedniček.

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2013 10:09 — Editoval Mirgeee (24. 11. 2013 10:13)

Limita

#2 24. 11. 2013 14:28

Re: Limita

#3 26. 11. 2013 18:29

Re: Limita

#4 27. 11. 2013 00:32

Re: Limita

Zápatí