Matematické Fórum

MoNi.CZka · 25. 11. 2013 14:18

Pomůže mi prosím někdo s tímto příkladem?
Porovnejte mohutnost kontinua (tj. mohutnost mnoziny vsech realnych cisel) a potence mnoziny prirozenych cisel (tj. mnoziny vsech podmnozin mnoziny prirozenych cisel).
DĚKUJI!

Rumburak

Jak víme, mohutnost množiny všech přirozených čísel je táž jako mohutnost množiny $\mathbb{Q}$ všech racionálních čísel,
takže stejný vztah musí platí i mezi potencemi těchto množin.

Sestrojme prosté zobrazení $f$ množiny $\mathbb{R}$ všech reálných čísel do množiny $P(\mathbb{Q)}$ (potence množiny $\mathbb{Q}$ ) :

$f(x) := \langle x , +\infty)\cap \mathbb{Q}$ pro libovolné $x \in \mathbb{R}$ .

Stačí ?

MoNi.CZka · 25. 11. 2013 16:18

Upřímně - NESTAČÍ, toto jsme ještě ani nebrali a je to pro mě španělská vesnice... Jsi moc hodný, že se mě snažíš nakopnout, ale potřebovala bych víc. Předem děkuji!

Rumburak

↑ MoNi.CZka:

Museli jste si nějak definovat reálná čísla, jestliže jste dostali za úkol řešit o nich úlohu.
Nebo "z pilnosti" řešíš úlohu v předstihu ? Můžeme to klidně probrat podrobněji ...
Takže který krok v mém postupu Ti není jasný ?

MoNi.CZka · 25. 11. 2013 18:45

Ani jedno ani druhý, je to jeden ze 4 zápočtových příkladů, my to možná časem probereme, ale stejně to nepochopím.
Já jsem asi ztracený případ, nechápu ani ťuk z toho, co jsi mi (stejně děkuji moc) napsal. Budu se s tím muset nějak sama porvat, tady mi asi nikdo přímé řešení neprozradí :-)

Rumburak · 26. 11. 2013 11:06

↑ MoNi.CZka:

... nechápu ani ťuk z toho, co jsi mi ... napsal.

Ptej se, třeba na všechno, ale konkretně (a postupně). Umět problém zformulovat je prvním krokem k jeho vyřešení :-)
Na nějaký soustavný kurs teorie množin tu prostor není, ale vzdávat to nemusíme.

Z některého dalšího Tvého příspěvku jsem nabyl dojmu (ale mohu se mýlit), že jde o Goedel-Bernaysovu teorii.
Máte na to nějakou literaturu ?
Co studuješ za obor, kde a v kterém ročníku, mohu-li se zeptat ?

MoNi.CZka · 28. 11. 2013 12:44

↑ Rumburak:
Já studuji matematiku a společenské vědy na pedagogické fakultě, jsem v prvním ročníku navazujícího studia a toto je příklad do předmětu Základy teorie množin.
A zatím se ani nemám na co ptát, řekni mi prosím k čemu mám dojít a já se k tomu zkusím nějak dopočítat sama.

Rumburak

↑ MoNi.CZka:

Kostra řešení té úlohy:

Zobrazení $f$ z příspěvku ↑ Rumburak: dokazuje, že mohutnost $\aleph$ množiny všech reálných čísel není větší než
mohutnost množiny $P(\mathbb{Q})$ , kde $\mathbb{Q}$ je množina všech racionálních čísel a $P$ operátor potence.

Další fakta:

Množina $\omega$ všech přirozených čísel má stejnou mohutnost jako $\omega \times \omega$ , kde $\times$ je operátor kartéského seoučinu.
(Toto tvrzení se dokazuje jako věta) .

Odtud a z věty Cantorovy-Bernsteinovy plyne, že $\mathbb{Q}$ má stejnou mohutnost jako $\omega$ , takže nutně $P(\mathbb{Q})$ má
stejnou mohutnost jako $P(\omega)$ .

Důsledek: $\aleph$ není větší než mohutnost množiny $P(\omega)$ .

(Pokrečování příště)

Rumburak

POKRAČOVÁNÍ.

Platí i obrácený vztah.

Uvažujme množinu $A\subseteq \omega$ a k ní posloupnost $s(A) = (a_i)$ tvaru

(1) $(a_i) = (a_0, a_1, a_2, ... ) , a_i \in \{0, 1\}$

takovou, že $a_i = 1$ pokud $i \in A$ , $a_i = 0$ pokud $i \notin A$ .
Toto zobrazení $s$ množiny $P(\omega)$ do množiny všech posloupností (1) je zřejmě prosté (jde dokonce o bijekci).

Dále každé posloupnosti (1) přiřaďme reálné číslo

$r$(a_i)$ = \sum_{k=0}^{\infty}10^{-1-k}a_k$

(tj. číslo s dekadickým rozvojem $0, a_0a_1a_2...$ ). Toto zobrazení je rovněž prosté.

Takže $r\circ s$ je prosté zobrazení množiny $P(\omega)$ do množiny $\mathbb{R}$ všech reálných čísel ,
tudíž mohutnost množiny $P(\omega)$ není větší než $\aleph$ .

Pode vvýsledku předchozího příspěvku a Cantorovy - Bernsteinovy věty tak dostáváme:

Mohutnost $\aleph$ množiny $\mathbb{R}$ je stejná jako mohutnost množiny $P(\omega)$ .

MoNi.CZka · 10. 12. 2013 20:07

Omlouvám se, dlouho jsem tu nebyla (začaly zkoušky a příklady se musely odložit), vidím, že tykání nebylo na místě, že mám před sebou někoho skutečně oboru znalého, tak se omlouvám a moc Vám za Vaši pomoc a ochotu děkuji.

Rumburak · 11. 12. 2013 11:46

↑ MoNi.CZka:

V tykání opravdu nevidím problém :-) a zde je to celkem zavedeno.
Doufám, že jsme problém vyřešili.

MoNi.CZka · 11. 12. 2013 17:27

Problém už mám úplně vyřešený, dnes jsem to ještě konzultovala s panem docentem, díky Vám jsem si to mohla dovolit, protože jsem tam nepřišla úplně jako tabula rasa :-D Takže DĚKUJI!

Matematické Fórum

#1 25. 11. 2013 14:18

Porovnání mohutnosti množin

#2 25. 11. 2013 16:07 — Editoval Rumburak (25. 11. 2013 16:46)

Re: Porovnání mohutnosti množin

#3 25. 11. 2013 16:18

Re: Porovnání mohutnosti množin

#4 25. 11. 2013 16:25 — Editoval Rumburak (25. 11. 2013 16:53)

Re: Porovnání mohutnosti množin

#5 25. 11. 2013 18:45

Re: Porovnání mohutnosti množin

#6 26. 11. 2013 11:06

Re: Porovnání mohutnosti množin

#7 28. 11. 2013 12:44

Re: Porovnání mohutnosti množin

#8 28. 11. 2013 16:58 — Editoval Rumburak (29. 11. 2013 10:20)

Re: Porovnání mohutnosti množin

#9 29. 11. 2013 10:18 — Editoval Rumburak (29. 11. 2013 10:44)

Re: Porovnání mohutnosti množin

#10 10. 12. 2013 20:07

Re: Porovnání mohutnosti množin

#11 11. 12. 2013 11:46

Re: Porovnání mohutnosti množin

#12 11. 12. 2013 17:27

Re: Porovnání mohutnosti množin

Zápatí