Matematické Fórum

smiesek · 23. 01. 2009 15:43

Dobrý podvečer, přiznám se, že jsem po předešlých příspěvcích a nabádání k pomoci o derivaci funkce v bodě na to sedla a snažila se dostat do hlavy celý postup a proto bych prosila o kontrolu postupu (abych mohla dále počítat jiné typy příkladů)

zadání
Vyšetřete derivaci funkce $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f%3Ay%3Dsinx$ v bodě $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%3D\pi$

můj postup při řešení
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f(\pi)%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%20\pi}\frac{sinx-sin\pi}{x-\pi}%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%20\pi}%20\frac{sinx-0}{x-0}%3D$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to\pi}\frac{sinx}{x}%3D1$

poouze si akorát nejsem jistá tím, zda ve jmenovateli mohu počítat normálně s $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x-0$ či mám nějak počítat s $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x-\pi$ ?

Děkuji za spolupráci při kontrole

lukaszh

↑ smiesek:
No tam je závažná chyba. Ty si napísal, že $\pi=0$

musixx · 23. 01. 2009 16:10

↑ smiesek: Pokud uz bych to chtel delat takto "od zakladu", napsal bych
$f^\prime(\pi)=\lim_{x\to0}\frac{\sin(x+\pi)-\sin\pi}x=\lim_{x\to0}\frac{\sin x\cos\pi+\cos x\sin\pi-\sin\pi}x=\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}x=-\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=-1$ ,
kde jsme teda stejne vyuzili celkem silneho tvrzeni, ze $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$ . Rozhodne to neplati pro $x\to\pi$ .

Druha, nesrovnatelne lehci, cesta je spocitat, ze $f^\prime(x)=\cos x$ a dosadit, tedy $f^\prime(\pi)=\cos\pi=-1$ .

smiesek · 23. 01. 2009 16:27

jo takhle, děkuji za vysvětlení pánové, už jsem si vědoma chyby, kterou dělám.
Právě mě mate to, že nikdy netuším, zda mohu funkci zderivovat a poté dosadit požadovaný bod, či to udělat pomocí věty o derivaci funkce v bodě.
Zkusím spočítat další typy příkladů, případně se podělím o postup.

lukaszh

↑ smiesek:
PREBOHA SAMOZREJME, ŽE DERIVUJEŠ PODĽA ZNÁMYCH PRAVIDIEL. Prečo by si to mal počítať z limity? Keď počítaš derivácie z limity, to sa volá Výpočet derivácie funkcie z definície. Neviem ako by si cez limitu počítal deriváciu $f(x)=\arctan$\frac{\ln\(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x}$}{\sin\cos\tan x}\)$

Ty si asi nepochopil, že všetky pravidlá o derivovaní sú odvodené z limity derivácie. Ty už nemusíš kopírovať Newtonove a Leibnizove práce :-) Pokiaľ od teba zadanie vyžaduje DOKÁZAŤ alebo NÁJSŤ deriváciu z DEFINÍCIE tak to počítaš cez limitu.

smiesek

Pokud tedy budu mít následující zadání:
vypočítejte derivaci funkce v bodě $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%3D-2%3Bx%3D1$ , kde $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f(x)%3D3x*|2x|$
budu postupovat následovně:

1. derivace funkce
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=3x*|2x|%3D(6x*|x|)%3D(3x)*|2x|%2B3x*(|2x|)%3D$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=3*|2x|%2B3x*\frac{|2x|}{x}%3D6*|x|%2B6x*\frac{|x|}{x}%3D$ $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=12*|x|$

2. dosadím za $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%3D-2$ což bude: $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=12*|-2|%3D24$
a za $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%3D1$ a výsledkem je: $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=12*|1|%3D12$

jde o správnou úvahu a i postup, nebo někde se pletu?
Děkuji za spolupráci při kontrole