Matematické Fórum

Jane · 23. 01. 2009 21:29

Poloměr válce roste rychlostí 3 cm/s, zatímco výška se zmenšuje tak,že objem zůstává roven V=4*Pí , Jakou rychlostí se mění plášť v okamžiku,kdy r=2 cm?

kaja.marik

V=pi*r^2*v --- odsud urcim v

0=dV/dt=pi*r^2*dv/dt+2*pi*r*v*dr/dt -- odsud urcim dv/dt

S=2*pi*r^2+2*pi*r*v --- odsud urcim dS/dt pomori r,v,dr/dt a dv/dt, dosadim a mam hotovo (taky 18 pi, jako lukash :) )

Mimochodem, V je v cm^3 ???

lukaszh

↑ Jane:
Zaujímavý príklad. Skúsim ho riešiť takto:

Vyjadrím si výšku tak, aby objem zostal nezmenený:

Plášť zo vzťahu pre obsah plášťa vypočítam s danou výškou:
$s(r)=2\pi r$r+\frac{4}{r^2}$=2\pi r^2+\frac{8\pi}{r}$

Viem, že polomer rastie lineárne rýchlosťou $w=3$ . Rýchlosť vlastne znamená pomer
$w(t)=\frac{s}{\text{t}$
pričom teraz hrá úlohu polomer, teda
$w(t)=\frac{r}{t}$
Keďže viem, že rýchlosť je 3, potom jednoducho odvodím závislosť polomeru od času:
$r=3t\,;\;t\geq0$
Odtiaľ teda:
$s(t)=2\pi (3t)^2+\frac{8\pi}{3t}=\boxed{18\pi t^2+\frac{8\pi}{3t}}$
a rýchlosť zmeny v t=2/3 je:
$\left.\frac{\text{d}s(t)}{\text{d}t}\,\right|_{t=2/3}=36\cdot\pi\cdot\frac{2}{3}-\frac{8\pi}{3\cdot\frac{4}{9}}=\boxed{18\pi}$

kaja.marik · 23. 01. 2009 22:20

↑ lukaszh:
jednoduseji takto:
$s(r)=2\pi r$r+\frac{4}{r^2}$=2\pi r^2+\frac{8\pi}{r}$

s=s(r(t)) (slozena funkce)
$s'=4\pi r r'-\frac{8\pi}{r^2}r'$

carka je derivace podle casu a podle zadani je r'=3cm/s

lukaszh · 23. 01. 2009 22:23

↑ kaja.marik:
Iste, ja som to riešil problémovo. Čo ma napadlo, to som napísal :-)

kaja.marik · 23. 01. 2009 22:37

↑ lukaszh:
jojo, ja jsem si zase neuvedomil, ze na to staci funkce jedne promenne a sel jsem na to pomoci parcialnich derivaci, coz taky nebylo to nejjednodussi reseni.

Jane · 24. 01. 2009 12:33

↑ kaja.marik:
a muzu jeste dotaz... derivace pi*r^2*h je pi(2r*dr/dt*h + r^2 dh/dt)? to 2r*dr/dt je kuli tomu ze je to r^2. vzdyt preci derivace r na druhou je jen 2r,tak proc tam jeste dr/dt?

Jane · 24. 01. 2009 13:08

Tedy příklad : Válcová nádrž se plní vodou rychlostí 8m^3/min. Nádrž má poloměr 6 metrů.Jak rychle se zvyšuje hladina..? V= pi*r^2*h
dV/dt= 8
8= pi (2r *dr/dt*h + r^2*dh/dt ) dr/dt je nula protože se poloměr nemění,takže dh/dt je 2/9pi ?? je to mozne?

lukaszh · 24. 01. 2009 13:19

↑ Jane:
Áno, je to správne.

kaja.marik · 24. 01. 2009 20:02

↑ Jane:
derivace r^2 podle r je 2*r

derivace [r(t)]^2 podle t je 2*r(t)*r'(t)

Ja jsem explicitne nevypisoval ze derivuji podle casu (bylo to jasne podle dt) a ani, ze r je funkce promenne t (jasne z podstaty problemu) a psal jsem dr/dt misto r'(t).

Uznavam, ze jsem mohl byt sdilnejsi, ale radsi to doplnit druhy den, nez to psat zbytecne v pripade, ze puvodni tazatel to pochopi i ze strucne odpovedi.

Jane · 24. 01. 2009 20:48

↑ kaja.marik:
byl to takovej muj skrat,koukla sem se na to pozorneji a pochopila sem oc jde:) jen mi to nedocvaklo hned...ale dekuju za vysvetlivku:)

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2009 21:29

užití derivace pro výpočet změny

#2 23. 01. 2009 21:59 — Editoval kaja.marik (23. 01. 2009 22:21)

Re: užití derivace pro výpočet změny

#3 23. 01. 2009 22:10 — Editoval lukaszh (23. 01. 2009 22:14)

Re: užití derivace pro výpočet změny

#4 23. 01. 2009 22:20

Re: užití derivace pro výpočet změny

#5 23. 01. 2009 22:23

Re: užití derivace pro výpočet změny

#6 23. 01. 2009 22:37

Re: užití derivace pro výpočet změny

#7 24. 01. 2009 12:33

Re: užití derivace pro výpočet změny

#8 24. 01. 2009 13:08

Re: užití derivace pro výpočet změny

#9 24. 01. 2009 13:19

Re: užití derivace pro výpočet změny

#10 24. 01. 2009 20:02

Re: užití derivace pro výpočet změny

#11 24. 01. 2009 20:48

Re: užití derivace pro výpočet změny

Zápatí