Matematické Fórum

Zemish · 06. 12. 2013 08:28

Ahoj,

mám následující zadání:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-12/14666_priklad4.jpg

mé nedokončené řešení:

problém s parametrizací a určování mezí, jak na to, prosím? :-(

Výsledek: -6

Děkuji předem za rady ;-)

Rumburak

↑ Zemish:

Ahoj.

Říká někldo, že se tento celkem jednoduchý křívkový integrál má počítat pomocí Stokesovy věty a integrálu plošného ?
Je to totiž hrubě neadekvátní.

Použil bych následující postup:

1) Počítaný křivkový integrál přes orientovanou hranici trojúhelníka napíšeme jako součet tří křivkových integrálů
přes jednotlivé strany.

2) Integrél přes stranu spočítáme tak, že tuto úsečlu vyjádříme parametricky a křivkový integrál pak převedeme
na součet jednorozměrných integrálů, v nichž se bude integrovat podle parametru, např.

$\int_{\vec{k}} f(x,y,z)\,\mathrm{d}x = \int_a^bf(x(t),y(t),z(t))\, x'(t)\,\mathrm{d}t$ ,

kde $a, b$ odpovídají hodnotám parametru $t$ pro počáteční a koncový bod orientované křivky $\vec{k}$ (zde úsečky).

Brano · 06. 12. 2013 11:58

Mozes zacat od $u$ - teda od $x$ . Vies ze $x\in[0,2]$ , teda $u\in[0,2]$ . A teraz pre kazde fixne $x$ moze ist $y$ od $0$ az po tu spojnicu vrcholov na osiach $x$ a $y$ a ta ma aku rovnicu? No je to stopa tej roviny v rovine $xy$ (ich prienik) teda dosadis $z=0$ a mas $3x+2y=6$ cize
$v=y\in\left[0,\frac{6-3x}{2}\right]$

Brano · 06. 12. 2013 12:10 — Editoval Brano (06. 12. 2013 12:12)

↑ Rumburak:
nesuhlasim uplne, ze pocitanie pomocou stokesovej vety je neadekvatne, ale samozrejme je to osobna preferencia - len by som skusil napisat dovod preco sa mne zda adekvatne:
totizto hned ako som videl zadanie (a nepozrel som si riesenie) tak ma napadlo - urcite to pocital zbytocne zlozito cez definiciu a stokesovou vetou by to islo tak lahko

trochu problem je myslim v tom, ze to zapisuje extremne zlozito. Ja to robim cez formy t.j.

$d(ydx-xdy+zdz)=dy\wedge dx-dx\wedge dy+dz\wedge dz=-2dx\wedge dy$ (to sa da robit zhlavy)
a teraz vidiet, ze staci parametrizovat priemet toho trojuholnika do roviny $xy$ cize mame
$3x+2y\le 6$ , $x,y\ge 0$ a integral $\int -2dxdy$ a to som este nemusel nic napisat na papier a aj tento integral sa da zvladnut zhlavy, pretoze pocitame iba
$\int_0^2 (3x-6) dx$ .

Zatial co priamo by som musel proste na papiery zratat tri integraly - tie by som bez nejakeho pisania asi nezvladol uz by tam bolo na mna proste prilis vela veci na zapamatanie.