Matematické Fórum

PanTau · 07. 12. 2013 10:01

Ahoj, jak poznám že výsledná limita je nula?

Např:

$\lim_{x\to0} (\frac{x-sin(x)}{sin(x) x})$

=

$\lim_{x\to0} (\frac{x-cos(x)}{sin(x) + cos(x) x} )$

=

$"\frac{-1}{0} "$ a to matematicky nejde, jak tedy poznám že výsledek je 0?

kompik · 07. 12. 2013 10:11

↑ PanTau:
$(x-\sin x)'=1-\cos x$
$x-\cos x$ je chybne.

PanTau · 07. 12. 2013 10:31

↑ kompik:

Aha, tím se vše vysvětluje, co kdyby nastal případ, že mi vyjde opravdu 1lomeno0, musím derivovat dále?

kompik · 07. 12. 2013 10:50 — Editoval kompik (07. 12. 2013 10:50)

↑ PanTau:
Keď máš limitu typu 1/0, tak môže nasať viacero možností, z tohoto tvaru ich ešte nevieš rozlíšiť.
Napríklad limita $\lim\limits_{x\to0}\frac1x$ neexistuje, sprava sa to blíži k $+\infty$ , zľava k $-\infty$ .
Keď však o menovateli vieš, že je blízko bodu, kde určuješ limitu kladný, označme to ako limita typu $1/0^+$ , tak limita bude $+\infty$ . Príkladom je $\lim\limits_{x\to0}\frac1{x^2}$ .
Podobne ak by bol menovateľ záporný, tak to bude $-\infty$ . (Limita typu $1/0^-$ .)

Spolu by sa to dalo sformulovať takto:
Predpokladajme, že $a$ je hromadný bod definičného oboru funkcie $f(x)/g(x)$ . Ak existujú limity $\lim\limits_{x\to a} f(x)=L>0$ a $\lim\limits_{x\to a} g(x)=0$ a navyše existuje okolie $O$ bodu $a$ také, že pre $x\in O\cap D_g$ platí $g(x)>0$ , tak existuje aj limita $\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty$ .