Matematické Fórum

paha154

-

vojta_vorel · 16. 12. 2013 12:54

Ahoj

Potřebujeme pomocí příslušných předpokladů dokázat dvě věci:
(1) $A\cdot(B\cap C)\subseteq (A\cdot B)\cap C$
(2) $(A\cdot B)\cap C\subseteq A\cdot(B\cap C)$

Tak začněme s tou první. Vezměme cokoli z $A\cdot(B\cap C)$ a ukažme, že to leží taky v $(A\cdot B)\cap C$ . Nějaký nápad, jak na to?

vojta_vorel · 16. 12. 2013 20:45

No, předpokládáme že A,B,C jsou podgrupy H a že $A \subseteq C$ .
Z toho chceme vyvodit, že $A\cdot(B\cap C)= (A\cdot B)\cap C$

To je tvrzení o rovnosti dvou množin a takováhle tvrzení se typicky dokazují dvěma kroky. Že první je podmnožina druhé a že druhá je podmnožina první:
(1) $A\cdot(B\cap C)\subseteq (A\cdot B)\cap C$
(2) $(A\cdot B)\cap C\subseteq A\cdot(B\cap C)$

To je podle mě hodně důležitá představa. Nebo jsi zvyklý na nějakou jinou metodu? Dělali jste nějaké takové důkazy na cvičeních?

vojta_vorel · 17. 12. 2013 08:14

No tak vezmem tu první. Berem prvek z $A\cdot (B\cap C)$ a chcem ukázat, že je v $(A \cdot B) \cap C$ . Co znamená, řečeno slovy, že něco leží v $(A \cdot B) \cap C$ , tedy v průniku nějakých dvou množin?

vojta_vorel · 17. 12. 2013 17:45

Přesně tak. Tak se ještě jednou zkus pořádně zamyslet, jestli nevymyslíš, proč za daných předpokladů musí vše z $A\cdot (B \cap C)$ ležet v $A\cdot B$ a taky v $C$ .

vojta_vorel · 17. 12. 2013 18:52

No, tak to bude patrně jádro problému. To krát funguje následovně. Když máme dvě množiny v nějké grupě s operací $\cdot$ (třeba to můžou být podgrupy $A,B \subseteq H$ ), tak jejich součin $A\cdot B$ vznikne tak, že vezmu všechny násobky tvaru $a\cdot b$ kde $a\in A, b\in B$ , tedy
$A\cdot B=\{a\cdot b\mid a\in A,b\in B\}$
Zkus si to představit třeba s reálnými čísly. Rozmysli si třeba, co to je $\{1,2,3\}\cdot \{4,5,6\}$

vojta_vorel · 18. 12. 2013 08:01

Přesně tak. No, a až si aspoň trochu osvojíš tuhle myšlenku, musí podle mě být docela lehké si rozmyslet, že platí náš bod (1), tedy že pokud $A\subseteq C$ , musí:
(1a) vše z $A\cdot (B \cap C)$ ležet v $A\cdot B$
(1b) vše z $A\cdot (B \cap C)$ ležet v $C$ .

Nezapomeň na jasný fakt, že $(B\cap C) \subseteq B$ a $(B\cap C) \subseteq C$ !

vojta_vorel · 19. 12. 2013 08:11

To proto, že C je podgrupa. Proto součin dvou věcí z C je opět v C.

Matematické Fórum

#1 16. 12. 2013 11:22 — Editoval paha154 (14. 09. 2014 19:28)

-

#2 16. 12. 2013 12:54

Re: -

#3 16. 12. 2013 17:30 Příspěvek uživatele paha154 byl skryt uživatelem paha154. Důvod: FIN

#4 16. 12. 2013 20:45

Re: -

#5 16. 12. 2013 21:25 Příspěvek uživatele paha154 byl skryt uživatelem paha154. Důvod: FIN

#6 16. 12. 2013 21:54 Příspěvek uživatele paha154 byl skryt uživatelem paha154. Důvod: FIN

#7 17. 12. 2013 08:14

Re: -

#8 17. 12. 2013 14:16 Příspěvek uživatele paha154 byl skryt uživatelem paha154. Důvod: FIN

#9 17. 12. 2013 17:45

Re: -

#10 17. 12. 2013 17:47 Příspěvek uživatele paha154 byl skryt uživatelem paha154. Důvod: FIN

#11 17. 12. 2013 18:52

Re: -

#12 17. 12. 2013 18:56 Příspěvek uživatele paha154 byl skryt uživatelem paha154. Důvod: FIN

#13 18. 12. 2013 08:01

Re: -

#14 18. 12. 2013 14:06 Příspěvek uživatele paha154 byl skryt uživatelem paha154. Důvod: FIN

#15 19. 12. 2013 08:11

Re: -

Zápatí