Matematické Fórum

Kája2 · 23. 12. 2013 10:30 — Editoval Kája2 (23. 12. 2013 10:36)

Ahoj, prosím Vás, lze aplikovat L'Hospitalovo pravidlo na tuto limitu? $\lim_{x\to 0}\frac{2\text{cotg}^{-1}-\pi +2x}{x^{3}}$ .Pokud ho použiji, výjde mi výsledek, který je i v řešení, čili $\frac{2}{3}$ ovšem nevím zda lze L'Hospitalovo pravidlo použít na limity typu ,,něco lomeno nulou". A dle wolframy zase nemá tato limita řešení. (jinak tím $\text{cotg}^{-1}$ zde myslím arcuscotangens).

nanny1 · 23. 12. 2013 10:44

Ahoj, asi Ti tam vypadlo x u cotg. Je to opravdu myšleno jako $2/cotg x$ nebo jako "inverzní" funkce arccotg? Není specifikováno, odkud se máme blížit k nule? Zrovna u cotg je to dost zásadní.

Kája2 · 23. 12. 2013 10:47

↑ nanny1:
Bohužel, odkud se máme blížit k nule zde není, je zde čistě zadáno, že x se blíži k nule.Ano, ano, mám tam být $2\text{cotg}^{-1}x$ jako inverzní funkce arcuscotangnes.

nanny1 · 23. 12. 2013 10:56

Když se blížíme zprava, vychází mi 2/3, zleva nekonečno, jestli dobře počítám. :) Oboustranná limita tedy neexistuje, řekla bych.

Kája2 · 23. 12. 2013 10:59

Takto mi to právě ukázala i wolframa, ovšem pak tedy nechápu, proč mají tento výsledek uvedený v těch příkladech. Aplikací L'Hospitala mi to sice vyšlo, ale zase mi přišlo divné ho aplikovat na ty ,,něco lomeno nulou"

nanny1 · 23. 12. 2013 11:17

Pro x jde k nule zprava to podmínku pro použití L´Hospitala splňuje - v čitateli se odečte (2.arccotg x - pí) a limita 2x je nula, jmenovatel jde k nule. Pro x jde k nule zleva L´Hospital použít nejde, protože čitatel jde k -2pí.

Kája2 · 23. 12. 2013 11:24

↑ nanny1:
Super děkuji ;-) čili mám se tedy (aby to mělo dle výsledku smysl, doplnit k té nule +, že se tedy k ní blížím zprava?)

nanny1 · 23. 12. 2013 11:53

Každopádně pro x jde k nule limita (oboustranná) neexistuje, takže i když to L´Hospitalem vyjde, není splněná podmínka existence limity. Napsala bych to s tím +, byla bych ráda, kdyby se na to tady ještě někdo podíval, ale snad je to dobře (doufám). :)

Kája2 · 23. 12. 2013 12:24

↑ nanny1:
Super, moc děkuji. Jinak ještě bych měl poslední dotaz na ty limity u arkuscotangensu, hodnota arccoth v bodě $0$ je $\frac{\pi }{2}$ . Tak ještě bych se rád optal, jak je to s těmi limity v okolí bodu nule, protože bohužel mi nejde do hlavy, proč pro nulu zleva výjde limita $-\frac{\pi }{2}$ a pro nulu zprava $\frac{\pi }{2}$ , protože jsem si vždycky myslel, že arccotgx je v bodě $0$ spojitá.

Rumburak · 23. 12. 2013 12:33

Ahoj .
Definujeme-li arccotg jako funkci inversní k cotg na (0, pi) (viděl jsem i poněkud jinou definici) , pak jde o limitu typu 0/0
a l'H pravidlo dává

$\lim_{x\to 0}\frac{2 \text{arccotg}\, x -\pi +2x}{x^{3}} = \lim_{x\to 0}\frac{-\frac{2}{x^2 + 1}+2}{3x^2} =...= \frac{2}{3}$

Kája2 · 23. 12. 2013 12:51

↑ Rumburak:
Super, děkuji ;-) Já mám právě zafixovaný tento typ, kdy obor hodnot funkce $\text{arccotg}x$ tvoří interval $(0,\pi )$ .

nanny1 · 23. 12. 2013 12:53

↑ Kája2: Tak to je dobrej dotaz, koukala jsem na operace s arccotg a pro x<0 je arccotg(-x)=pí - arccotg x, z grafu je to jasný.. Potom teda nechápu, proč mi kalkulačka vyhazuje -pí/2. Musím víc spoléhat na grafy než na kalkulačku. :) Potom je to teda jasný a oboustranná limita je 2/3. Díky ↑ Rumburak: za ověření. :)

Kája2 · 23. 12. 2013 12:57 — Editoval Kája2 (23. 12. 2013 12:59)

↑ nanny1:
No mě zmátla i wolframa, protože ta také dává také různé limity pro $\text{arccotg}x$ v okolí bodu $0$ . Ale zase mám právě zafixovaný graf té funkce.

Rumburak · 23. 12. 2013 13:10

↑ nanny1:

Je to o té nejednotnosti v definicích.

Kája2 · 23. 12. 2013 13:17

↑ Rumburak:
Tak obou Vám moc děkuji. ;-) Nedálo mi to od rána pokoj :D

Matematické Fórum

#1 23. 12. 2013 10:30 — Editoval Kája2 (23. 12. 2013 10:36)

L'Hospitalovo pravidlo

#2 23. 12. 2013 10:44

Re: L'Hospitalovo pravidlo

#3 23. 12. 2013 10:47

Re: L'Hospitalovo pravidlo

#4 23. 12. 2013 10:56

Re: L'Hospitalovo pravidlo

#5 23. 12. 2013 10:59

Re: L'Hospitalovo pravidlo

#6 23. 12. 2013 11:17

Re: L'Hospitalovo pravidlo

#7 23. 12. 2013 11:24

Re: L'Hospitalovo pravidlo

#8 23. 12. 2013 11:53

Re: L'Hospitalovo pravidlo

#9 23. 12. 2013 12:24

Re: L'Hospitalovo pravidlo

#10 23. 12. 2013 12:33

Re: L'Hospitalovo pravidlo

#11 23. 12. 2013 12:51

Re: L'Hospitalovo pravidlo

#12 23. 12. 2013 12:53

Re: L'Hospitalovo pravidlo

#13 23. 12. 2013 12:57 — Editoval Kája2 (23. 12. 2013 12:59)

Re: L'Hospitalovo pravidlo

#14 23. 12. 2013 13:10

Re: L'Hospitalovo pravidlo

#15 23. 12. 2013 13:17

Re: L'Hospitalovo pravidlo

Zápatí