Matematické Fórum

lauro · 02. 01. 2014 20:56

Absolútne neviem ako nato. Tento príklad je zaradený do témy Kapacita (Elektrostatika).

Formol · 03. 01. 2014 08:02

↑ lauro:
Ahoj,
první nápad, který by mohl vést k řešení, je postupovat tak, že si vypočítáš, jak se zvětší objem v závislosti na přivedeném náboji (za zanedbání mechanických vlastností bubliny) a vztah se pak pokusíš upravit tak, aby odpovídal dokazovanému vzorci (tedy vyjádříš Q,...).

Na povrchu bubliny o libovolném poloměru r si představ element dS, na který bude působit síla dF od náboje Q rovnoměrně rozprostřeného po celém povrchu bubliny. Sílu integruj přes celý povrch při daném poloměru r a výsledek poděl povrchem koule. Pokud se nepletu, je to jen jednoduchý integrovací prostocvik.
Tím získáš tlak p_e,r , jakým bude bublina "elektricky rozfukována" při libovolném poloměru r.

Po nějakém přechodovém ději po přivedení náboje se bublina ustálí na nějakém poloměru R, při kterém bude zjevně mechanický tlak (podtlak v bublině) p0-p roven tlaku, který při daném poloměru bublinu elekticky rozpíná. Takže vezmeš výše popsaným způsobem získaný integrál a položíš jej roven rozdílu atmosférického tlaku a tlaku aktuálního. No a pak si jen vyjádříš Q a zkusíš si to upravit do tvaru, jehož platnost máš dokázat.

lauro · 03. 01. 2014 14:01 — Editoval lauro (03. 01. 2014 14:02)

Už som sa dopracoval k výsledku. Len ide o to že som trochu "podvádzal" pretože ten elektrostatický tlak - čiže ten integrál to neviem presne ako spočítať - ale viem že má vyjsť (z príkladu z učebnice presne nad mojím príkladom kde bolo tiež zadanie že sa malo dokázať platnosť tohto vzťahu pre vodič ľubovolného tvaru s intenzitou E v blízkosti jeho povrchu)
$\frac{1}{2}\varepsilon _{0}E^{2}$

čize potom som pokračoval

$\frac{1}{2}\varepsilon _{0}(\frac{Q^{2}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}R^{4}})=p_{0}-p_{0}\frac{R_{0}^{3}}{R^{3}}$

a po následných úpravách som sa dopracoval k požadovanému výsledku.

Jediné čo mi chýba je to ako sa presne dopracovať k tomu elektrostatickému tlaku.
$\int_{R_{0}}^{R}QE dS = \frac{Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}2\pi rdr=\ldots$

Tak nejak ? Lebo mi to nevychádza potom objaví sa tam logaritmus.Nevedel by si mi poradiť ako presne ten integrál - čo presne mám integrovať.

Formol · 03. 01. 2014 14:37

↑ lauro:
Teď jsem úplně nepochopil, proč chceš něco integrovat od R0 fo R - ten tvůj integrál má význam práce, jaká se vykoná zvětšením bubliny.

Ten "elektrostatiský tlak" je vlastně jen pomůcka - vtip je v tom, že když si spočítáš sílu, jaká působí na element plochy na povrchu bubliny, tak ten nebude na ploše záviset. Tedy integrál přes plochu je vlastně jen vynásobení plochou - no a protože po výpočet tlaku musíš toutéž plochou vydělit, máš číselnou hodnotu "elektrostatického tlaku" bez nějaké divoké integrace. Pokud se k tomu tlaku chceš dopracovat bez podvádění, můžeš si např. pomocí Gaussova zákona vypočítat (nebo najít, koule by byla jako "tabelovaná" nejspíše uznatelná) intenzitu elektrického pole těsně u povrchu koule a z té pak vypočítat, jaká síla tedy bude působit na element plochy.

lauro · 03. 01. 2014 15:47

Tak už som sa ako tak dopracoval k tomu tlaku ale posledné čo mi chýba je ta konštanta $\frac{1}{2}$ .

$p=\frac{F}{S}=\frac{QE}{S}=\frac{\frac{Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}{4\pi R^{2}}=\frac{Q^{2}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}R^{4}}$

Čiže posledné čo mi chýba je ta $32$ v menovateli. Nevieš ako ju tam dostať ? :D

Formol · 06. 01. 2014 07:31

↑ lauro:
Omlouvám se, ale dříve jsem s k tomu nedostal. Vyšlo mi to stejně jako tobě. Odpoledne budu mít čas se na to vrhnout znovu a pokusit se najít chybu v úvaze...

zdenek1 · 06. 01. 2014 09:29

↑ Formol:
Podle mě se ta bublina chová jako kondenzátor s kapacitou $C=4\pi\varepsilon_0r$
Takže její energie je $E=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0r}$
a potom síla $F=-\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} r}=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon _0r^2}$

lauro · 06. 01. 2014 11:56

Ďakujem moc. Už to konečne dáva zmysel prečo to bolo zaradené v téma Kapacita.

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2014 20:56

Mydlová bublina a elektrický náboj

#2 03. 01. 2014 08:02

Re: Mydlová bublina a elektrický náboj

#3 03. 01. 2014 14:01 — Editoval lauro (03. 01. 2014 14:02)

Re: Mydlová bublina a elektrický náboj

#4 03. 01. 2014 14:37

Re: Mydlová bublina a elektrický náboj

#5 03. 01. 2014 15:47

Re: Mydlová bublina a elektrický náboj

#6 06. 01. 2014 07:31

Re: Mydlová bublina a elektrický náboj

#7 06. 01. 2014 09:29

Re: Mydlová bublina a elektrický náboj

#8 06. 01. 2014 11:56

Re: Mydlová bublina a elektrický náboj

Zápatí