Matematické Fórum

Elijen · 26. 01. 2009 16:38

Zdravim,

už delší dobu dumám nad tímto příkladem a za boha ho nemůžu upravit do nějaké formy, kde bych byl schopen použít základní věty. Poradil byste mi někdo prosím? Nemusíte psát celé řešení, stačí nějaký hint ^^.

Díky

lukaszh · 26. 01. 2009 17:30

↑ Elijen:
Musím povedať, že som musel nazrieť do zošita :-) Stačí použiť vzťahy:
$\cos x-\cos y=-2\sin$\frac{x+y}{2}$\sin$\frac{x-y}{2}$$

Elijen · 26. 01. 2009 18:28

Jo, to funguje. Díky ;-)

Kdyby to někoho zajímalo, tak po úpravách vznikne něco takového:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel B · 26. 01. 2009 23:27

↑ Elijen:

To by mě zajímalo, jak ses dostal k těm limitám, nějak to v tom nevidím :-)

Já bych to řešil tak, že první sinus z Lukášova příspěvku je omezený a druhý má limitu nula, takže limita je rovna nule.

Elijen · 27. 01. 2009 00:05 — Editoval Elijen (27. 01. 2009 00:06)

↑ Pavel B:
První sice omezenej je, ale druhý nemá limitu. Pokud ho rozšíříš tak ti vznikne $"0\cdot\infty"$ , což je neurčitý výraz.

Oba siny jsem vydělil jejich vnitřkem a použil 2x větu o limitě složené funkce + aritmetiku limit. Ostatní se požralo na konstanty.

lukaszh · 27. 01. 2009 00:48

↑ Elijen:
Trocha objasnenia. Nemyslím, že ↑ Pavel B:, je natoľko neskúsený, že to tam nevidí, on totiž vie, že to riešiš zle :) Pôvodná limita je:
$-2\cdot\lim_{x\to\infty}\sin$\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{2}$\cdot\sin$\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2}$$
kde sínus je ohraničený, a limita druhého vychádza:

Teda je to súčin
$\lim_{x\to a}f(x)g(x)\,;\;a\in\mathbb{R}*$
pričom f je ohraničená na okolí bodu a a zároveň $\lim_{x\to a}g(x)=0$ , čo sa podobá na pomocnú lemmu, ktorá sa používa na dôkaz limity súčinu. Teda výsledok je -2.K.0 => limita je 0.

Pavel B · 27. 01. 2009 10:23

↑ lukaszh:

Jak jsem mohl vědět, že to řeší špatně? Výsledek je správný a rovnosti v příspěvku ↑ Elijen: platí, určitě existuje postup, který bude mít na konci toto :-) .

Hodnotit správnost výpočtu provedeného v třech tečkách je nad mé síly, tak se radši nejdřív zeptám :-)

↑ Elijen:

Jen tak z ničeho nic podělit siny vnitřkem nemůžeš. Pokud si za svým postupem stojíš, tak ho prosím vypiš.

Elijen · 27. 01. 2009 10:24 — Editoval Elijen (27. 01. 2009 10:26)

Dneska ráno, než jsem se dostal na net, jsem si to uvědomil. Moje chyba, omlouvám se ... ono, kdyby ten druhý sinus neměl limitu 0, tak bych nemohl podle věty o limitě složené funkce převést na tu limitu, na kterou jsem to převedl.

Špatně jsem to neřešil, jen jsem šel zbitečně složitou cestou :)

... tak já to teda rozepíšu ... moment :)

Elijen · 27. 01. 2009 11:01

Je to o trochu více psaní, ale mělo by to být správně. (Předpoklady VLSF psát nebudu, ale platí :))

$\lim\limits_{x \to \infty}\cos\sqrt{x+1}-\cos\sqrt{x-1} = \lim\limits_{x \to \infty} -2\cdot\sin{\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{2}}\cdot\sin{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2}}=$
$=\lim\limits_{x \to \infty} -2\cdot\frac{sin{\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{2}}}{\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{2}}\cdot\frac{\sin{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2}}}{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2}}\cdot\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2}\cdot\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{2}=\lim\limits_{x \to \infty} -2\cdot\frac{sin{\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{2}}}{\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{2}}\cdot\frac{\sin{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2}}}{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2}}\cdot\frac{2}{4}=$
$=-2\cdot{\lim}\limits_{y \to \infty}\frac{sin(y)}{y} \cdot{\lim}\limits_{y \to 0}\frac{sin(y)}{y} \cdot\frac{2}{4} = -2\cdot0\cdot1\cdot\frac{2}{4} = 0$

Pavel B · 27. 01. 2009 11:14

↑ Elijen:

Teď už to vidím, díky za rozepsání :-)

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2009 16:38

Limita (cos - cos)

#2 26. 01. 2009 17:30

Re: Limita (cos - cos)

#3 26. 01. 2009 18:28

Re: Limita (cos - cos)

#4 26. 01. 2009 23:27

Re: Limita (cos - cos)

#5 27. 01. 2009 00:05 — Editoval Elijen (27. 01. 2009 00:06)

Re: Limita (cos - cos)

#6 27. 01. 2009 00:48

Re: Limita (cos - cos)

#7 27. 01. 2009 10:23

Re: Limita (cos - cos)

#8 27. 01. 2009 10:24 — Editoval Elijen (27. 01. 2009 10:26)

Re: Limita (cos - cos)

#9 27. 01. 2009 11:01

Re: Limita (cos - cos)

#10 27. 01. 2009 11:14

Re: Limita (cos - cos)

Zápatí