Matematické Fórum

Letmery.Ondarex · 16. 01. 2014 02:02

Ahoj,

mohl bych poprosit o kontrolu následujícího příkladu? Nejsem si jistý, zda jsem postupoval správně. Zadání zní:

Spojitá reálná náhodná veličina $x$ má rovnoměrné rozdělení na intervalu $\langle a,b\rangle$ , $a = 50$ , $b = 100.$

a) Vypočítejte střední hodnotu
b) Vypočítejte číselnou hodnotu rozptylu
c) Vypočítejte číselně koeficient variace
d) Nakreslete distribuční funkci. Jaký je význam distribuční funkce?
e) Určete číselně, s jakou pravděpodobností bude splněná nerovnost $x > (a + (b - a)/ 5)$ .

Moje řešení:

a)
$E(X) = \frac{a + b}{2}=\frac{50+100}{2}=75$

b)
$D(X) = \frac{(b-a)^{2}}{12}=\frac{2500}{12}=208,33$

c)
$C = \frac{\sqrt{D(X)}}{|E(X)|}=\frac{\sqrt{208,33}}{75}=0,192$

d)
$F(x) = 0$ , pro $x \le 50$
$F(x) = \frac{x-50}{50}$ , pro $50 < x < 100$
$F(x) = 1$ , pro $x \ge 100$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/33379_bmp.jpg

Význam distribuční funkce spočívá v tom, že nám teoreticky nejpřesněji popisuje pravděpodobnostní chování diskrétní nebo spojité náhodné proměnné X.

e)
$x > (a + (b - a)/ 5)$
$x > (50 + (100 - 50)/ 5)$
$x > (50 + 10)$
$x > 60$

$F(x) = \frac{x-50}{50}$ , pro $50 < x < 100$ tzn. dosadím za $x$ hodnotu "těsně" vyšší jak $60$
$F(x) = 0,22$ , pro $50 < 61 < 100$

Výše uvedená nerovnost bude splněna s pravděpodobností 0,22.

Jozef3 · 16. 01. 2014 09:47

↑ Letmery.Ondarex:
Ahoj,
příklad e) jsi vypočítal špatně. Problém je možná v tom, že nechápeš správný význam distribuční funkce. Co jsi myslel v d) tou frází "Význam distribuční funkce spočívá v tom, že nám teoreticky nejpřesněji popisuje pravděpodobnostní chování diskrétní nebo spojité náhodné proměnné X"? Kdybych nevěděl, co to distribuční funkce je, tak bych z tohoto vysvětlení nebyl o nic moudřejší. Podívej se raději na definici distribuční fce a pak své řešení v e) oprav.

Letmery.Ondarex · 16. 01. 2014 13:52

↑ Jozef3:

No co se týká toho bodu e), tak jsem asi špatně pochopil zadání. Chce se po mě v podstatě pravděpodobnost, že $x$ bude spadat do intervalu $<60, \infty >$ . Řešení by teda mohlo vypadat následovně:

$\int_{60}^{\infty }(F(x))dx = 0,8$

Integrál jsem nepočítal. Uvažoval jsem logicky, že pokud je pravděpodobnost, že $x = 60$ rovná $0,2$ , tak "od" $60$ do $\infty$ to bude ten zbytek do $1$ . Tedy $1-0,2=0,8$ .

A co se týký definice distribuční funkce, tak:

Jedná se o funkci, která každému reálnému číslu přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty, která je rovna tomuto číslu. Chápu to tak, že kdybych měl přesně vytisknutou distribuční funkci (myšleno v grafu), tak mohu jen podle pravítka zjistit, že např. pravděpodobnost, že padne hodnota 70 je ta a ta.

Jozef3 · 16. 01. 2014 17:18

↑ Letmery.Ondarex:
Ne, ještě jednou se podívej na definici distribuční funkce, něco Ti uniká.
Opravím Tvoji špatnou definici: "Jedná se o funkci, která každému reálnému číslu přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina bude MENŠÍ NEBO ROVNA tomuto číslu." Evidentně špatný je Tvůj závěr, že pravděpodobnost, že x=60 je 0,2. Tvoje náhodná veličina je totiž spojitá, takže nabývá každé své hodnoty (tedy i 60) s pravděpodobností nula.
Správné řešení příkladu e) bych si představoval takto: V intervalu $\langle50;100\rangle$ má naše distribuční funkce předpis $F(x)=\frac{x-50}{100-50}$ , tudíž $F(60)=\frac{60-50}{100-50}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}$ a teď přijde to nejdůležitější: Tudíž pravděpodobnost, že $x>60$ je (jak je vidět přímo z definice distribuční funkce) $1-F(60)=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}=0,8$ .

P.S.: Omlouvám se, že jsem byl tak kritický, ale takové pojmy jako je distribuční funkce je třeba bezpečně ovládat a umět s nimi pracovat. Podívej se prosím ještě jednou do učebnice (skript, poznámek z přednášky) na teorii kolem distribuční funkce, abys s ní uměl zacházet.

Letmery.Ondarex · 16. 01. 2014 18:20

↑ Jozef3:

Dobrá dám si na to pozor, děkuji.

Měl bych na tento příklad ještě dotaz. Jak by vypadal vzoreček transformační metody pro zadané rozdělení?

Matematické Fórum

#1 16. 01. 2014 02:02

Spojitá reálná náhodná veličina - kontrola řešení

#2 16. 01. 2014 09:47

Re: Spojitá reálná náhodná veličina - kontrola řešení

#3 16. 01. 2014 13:52

Re: Spojitá reálná náhodná veličina - kontrola řešení

#4 16. 01. 2014 17:18

Re: Spojitá reálná náhodná veličina - kontrola řešení

#5 16. 01. 2014 18:20

Re: Spojitá reálná náhodná veličina - kontrola řešení

Zápatí