Matematické Fórum

Sajmon9114 · 15. 01. 2014 18:40

Ahoj, potřeboval bych poradit s jedním problémem týkajícím se lineárních zobrazení, zadání zní takto: " $U$ a $V$ jsou vektorové prostory, $L:U\to V$ je zobrazení:
1) $\{u\in U:L(u)=o\}$ je vektorový podprostor $U$
2) pro každý podprostor $W$ prostoru $V$ je $L^{-1}(W)$ podprostor $U$ ".
Má se zjistit, zda z jednoho tvrzení vyplývá druhé a naopak, a také zda z některého z nich vyplývá, že $L$ je lineární zobrazení. Došel jsem jen k tomu, že první tvrzení je v zásadě definicí jádra zobrazení, ale již si nevím rady s dalšími závěry. Díky za radu.

Andrejka3 · 16. 01. 2014 00:45

↑ Sajmon9114:
Ahoj.
Je $\{o\}$ podprostorem $V$ ?

Sajmon9114 · 16. 01. 2014 08:06

Andrejka3 napsal(a):
↑ Sajmon9114:
Ahoj.
Je $\{o\}$ podprostorem $V$ ?

Řekl bych, že nulový vektor je vždy triviálním podprostorem, ne?

Andrejka3 · 16. 01. 2014 11:07

↑ Sajmon9114:
Když tedy platí 2), co můžeš říci o $L^{-1}\{o\}$ ?

Sajmon9114 · 16. 01. 2014 11:51

Andrejka3 napsal(a):
↑ Sajmon9114:
Když tedy platí 2), co můžeš říci o $L^{-1}\{o\}$ ?

Asi jsem trochu zmatený :D Takže když $\{o\}$ je vektorovým podprostorem $V$ , plyne z toho platnost tvrzení 2? O $L^{-1}\{o\}$ můžu říct, že tento prvek náleží jádru zobrazení, je tedy jedním z těch prvků $u$ z tvrzení 1), které tvoří vektorový podprostor $U$ . Ale dál si opravdu nevím rady.

Andrejka3

↑ Sajmon9114:
První úkol. Rozhodnout, zda platí implikace '' $2\Rightarrow 1$ ''.
Mějme $L$ , které splňuje 2). Splňuje 1) ?

Sajmon9114

↑ Andrejka3:
No jasně, už se chytám. Ta první implikace vlastně popisuje, že prvky, které se zobrazí na nulový vektor, tvoří podprostor $U$ . Teď když vezmu nulový vektor z $V$ , tak z toho důvodu, že tvoří podprostor $V$ , tedy splňuje předpoklad implikace 2), tak jeho vzor tvoří podprostor $U$ , a tyto vzory jsou přesně tou množinou z tvrzení 1), tím pádem $2\Rightarrow 1$ .

Sajmon9114 · 16. 01. 2014 12:14

Ale opačně to, řekl bych, platit nemusí, protože mám informace pouze o prvcích, které se zobrazí na nulový vektor, o ostatních nikoli.

Andrejka3

↑ Sajmon9114:
Přesně tak, teď zbývají asi dva úkoly. Nejdříve:
Platí pro každé L implikace $1 \Rightarrow 2$ ?
Edit: To je pravda, co píšeš výše. Chtělo by to ale důkaz. Máš podezření, že obecně neplatí $1 \Rightarrow 2$ . Jaké možnosti máme to dokázat? (či vyvrátit platnost té implikace).

Sajmon9114 · 16. 01. 2014 12:43

↑ Andrejka3:
Vím tedy, že platí tvrzení 1), to mi ale nic neříká o tom, zda např. prvky $\{u\in U:\parallel u\parallel =1\}$ (tedy jejichž norma je rovna jedné) taky tvoří podprostor $U$ . Tedy kdybych vzal podprostor $W$ obrazů těchto prvků s normou jedna, nejsem schopen říct, zda jejich vzor $L^{-1}(W)$ tvoří podprostor $U$ . Ale nevím, jestli to není úplný nesmysl :D

Andrejka3 · 16. 01. 2014 12:53

↑ Sajmon9114:
No nevím, stačí najít protipříklad, tedy stačí najít jeden případ - prostor U, prostor V a zobrazení L, které splňuje 1 ale nesplňuje 2. Čím jednodušší, tím lepší.
Můžeme najít protipříklad (vhodné zobrazení L), když zvolíme $U=V=\{o\}$ ?

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2014 18:40

Lineární zobrazení

#2 16. 01. 2014 00:45

Re: Lineární zobrazení

#3 16. 01. 2014 08:06

Re: Lineární zobrazení

Andrejka3 napsal(a):

#4 16. 01. 2014 11:07

Re: Lineární zobrazení

#5 16. 01. 2014 11:51

Re: Lineární zobrazení

Andrejka3 napsal(a):

#6 16. 01. 2014 12:02 — Editoval Andrejka3 (16. 01. 2014 12:02)

Re: Lineární zobrazení

#7 16. 01. 2014 12:11 — Editoval Sajmon9114 (16. 01. 2014 12:12)

Re: Lineární zobrazení

#8 16. 01. 2014 12:14

Re: Lineární zobrazení

#9 16. 01. 2014 12:15 — Editoval Andrejka3 (16. 01. 2014 12:16)

Re: Lineární zobrazení

#10 16. 01. 2014 12:43

Re: Lineární zobrazení

#11 16. 01. 2014 12:53

Re: Lineární zobrazení

Zápatí