Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Ahoj, potřeboval bych poradit s jedním problémem týkajícím se lineárních zobrazení, zadání zní takto: " a jsou vektorové prostory, je zobrazení:
1) je vektorový podprostor
2) pro každý podprostor prostoru je podprostor ".
Má se zjistit, zda z jednoho tvrzení vyplývá druhé a naopak, a také zda z některého z nich vyplývá, že je lineární zobrazení. Došel jsem jen k tomu, že první tvrzení je v zásadě definicí jádra zobrazení, ale již si nevím rady s dalšími závěry. Díky za radu.
Offline
↑ Sajmon9114:
Ahoj.
Je podprostorem ?
Offline
Andrejka3 napsal(a):
↑ Sajmon9114:
Ahoj.
Je podprostorem ?
Řekl bych, že nulový vektor je vždy triviálním podprostorem, ne?
Offline
↑ Sajmon9114:
Když tedy platí 2), co můžeš říci o ?
Offline
Andrejka3 napsal(a):
↑ Sajmon9114:
Když tedy platí 2), co můžeš říci o ?
Asi jsem trochu zmatený :D Takže když je vektorovým podprostorem , plyne z toho platnost tvrzení 2? O můžu říct, že tento prvek náleží jádru zobrazení, je tedy jedním z těch prvků z tvrzení 1), které tvoří vektorový podprostor . Ale dál si opravdu nevím rady.
Offline
↑ Sajmon9114:
První úkol. Rozhodnout, zda platí implikace ''''.
Mějme , které splňuje 2). Splňuje 1) ?
Offline
↑ Andrejka3:
No jasně, už se chytám. Ta první implikace vlastně popisuje, že prvky, které se zobrazí na nulový vektor, tvoří podprostor . Teď když vezmu nulový vektor z , tak z toho důvodu, že tvoří podprostor , tedy splňuje předpoklad implikace 2), tak jeho vzor tvoří podprostor , a tyto vzory jsou přesně tou množinou z tvrzení 1), tím pádem .
Offline
Ale opačně to, řekl bych, platit nemusí, protože mám informace pouze o prvcích, které se zobrazí na nulový vektor, o ostatních nikoli.
Offline
↑ Sajmon9114:
Přesně tak, teď zbývají asi dva úkoly. Nejdříve:
Platí pro každé L implikace ?
Edit: To je pravda, co píšeš výše. Chtělo by to ale důkaz. Máš podezření, že obecně neplatí . Jaké možnosti máme to dokázat? (či vyvrátit platnost té implikace).
Offline
↑ Andrejka3:
Vím tedy, že platí tvrzení 1), to mi ale nic neříká o tom, zda např. prvky (tedy jejichž norma je rovna jedné) taky tvoří podprostor . Tedy kdybych vzal podprostor obrazů těchto prvků s normou jedna, nejsem schopen říct, zda jejich vzor tvoří podprostor . Ale nevím, jestli to není úplný nesmysl :D
Offline
↑ Sajmon9114:
No nevím, stačí najít protipříklad, tedy stačí najít jeden případ - prostor U, prostor V a zobrazení L, které splňuje 1 ale nesplňuje 2. Čím jednodušší, tím lepší.
Můžeme najít protipříklad (vhodné zobrazení L), když zvolíme ?
Offline