Matematické Fórum

umrlec · 27. 01. 2009 21:13

Zdravim, potřeboval bych, prosím pěkně pomoci s příkladem...

Je dána matice M(a) =

Úkol: Lze zjistit číslo a z R tak, aby matice M(a) měla vlastní číslo λ = 0?

Postupoval jsem takto (snad správně?)

Výsledkem tedy podle mně je, že existuje takové číslo a z R tak, aby matice M(a) měla vlastní číslo λ = 0, a to číslo a = 1. Je to tak?

No a problém pak činí ty vlastní vektory :// Když dosadím do (M(a) - λE) = 0
Nevím prostě co s tím dál... :/

vosa · 27. 01. 2009 21:47

ano to a mi vyšlo stejně (-1 to asi nebude kvůli odmocnině ve 4. řádku)
Nevím, proč to přepisuješ na soustavu lin. rovnic, tu bys pak přece stejně řešil pomocí matice, která by vypadala přesně jako ta tvoje (ta, kde už je dosazeno a). stačí ji teď upravit pomocí Gaussovy eliminační metody. ... výsledný vektor (v tomto případě spíše lineární prostor) pak už zvládneš najít?

umrlec · 27. 01. 2009 21:52

myslíš takto:
0 0 -1 1
1 3 -1 2
0 0 1 -1
0 2 1 1
přehodím první a druhý řádek a čtvrtý a druhý
1 3 -1 2
0 2 1 1
0 0 1 -1
0 0 -1 1
no a teď když sečtu třetí a čtvrtý tak mám
1 3 -1 2
0 2 1 1
0 0 1 -1
0 0 0 0

no a co s tim?

vosa · 27. 01. 2009 22:25

přesně tak.
Aha, tahle soustava / matice soustavy byla dost jednoduchá, takže vlastně ani nepotřebovala upravit. Čili jsem tě zbytečně přinutila dělat něco, co nebylo nutné. (ale třeba se ti to bude hodit u dalších příkladů ;) Pokud vektor který soustavě vyhovuje neumíš "vykoukat" přímo z matice, asi ti nezbyde, než si matici přepsat do soustavy rovnic, přesně jako jsi to udělal výše. (ty rovnice budou stejné, jen proházené)

a teď, poslední řádek ti neříká nic (jsou v něm samé nuly)
3. řádek říká, že pro třetí a čtvrtou souřadnici vektoru má platit x3 - x4 = 0, takže hodnotu jedné souřadnice si můžeš zvolit a zbylou dopočítat.
jejich hodnoty pak dosadíš do 2. rovnice (2*x2 + x3 + x4 = 0) a dopočítáš x2, atd...

mistrous · 28. 01. 2009 14:46

Ahoj,

prosím pěkne potřebovala bych pomoci s příkladem:

Pro jakou hodnotu p je hodnost matice A rovna 2

1 0 2
A= 2 1 3
-1 2 P

DĚKUJU

A.

musixx · 28. 01. 2009 14:53 — Editoval musixx (28. 01. 2009 14:53)

↑ mistrous: Tak si ji upravme na schodovity tvar (udelam to az do konce, i kdyz to vlastne ani neni potreba):
$\begin{pmatrix}1&0&2\nl2&1&3\nl-1&2&p\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&2\nl0&1&-1\nl0&2&2+p\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&2\nl0&1&-1\nl0&0&4+p\end{pmatrix}$ .
Ted vidis, ze posledni radek je nulovy pro $p=-4$ .

mistrous · 28. 01. 2009 15:02

dekuju moc.

Muzes mi to prosim jeste rozepsat podrobneji? Moc se nechytam

Diky

umrlec · 28. 01. 2009 15:10

1 0 2
2 1 3
-1 2 p

nejdřív sečteš první a třetí řádek

1 0 2
2 1 3
0 2 p+2

pak první řádek vynásobíš -2 a sečteš s druhým

1 0 2
0 1 -1
0 2 p+2

a nakonec vynásobíš druhý řádek -2 a sečteš s třetím
1 0 2
0 1 -1
0 0 p+4

když je poslední řádek nulový, tak má matice hodnost 2 (má dva lineárně nezávislé řádky) no a aby byl poslední řádek nulový musí být p = -4

mistrous · 28. 01. 2009 15:35

Dekuju moc

a muzu jeste

1 0 2
3 1 3
-1 4 P

HODNOST MATICE JE ROVNA 2

Nemam k tomu totiz vysedek a chci si overit zda to chapu dobre.

Dekuju

musixx · 28. 01. 2009 16:01

↑ mistrous: Pro overeni ti staci vysledek: Hodnost je 2 pro p = -14.

mistrous · 28. 01. 2009 16:13

Dekuju to mi staci

k matici 3 -2
-1 1

je inverzní matice 1 2
1 3

muzu u techle jednodussich prikladu pocitat jen tak ze ty hodnoty prehodim? Vychazi nam to u spoustu prikladu, ale at se nenapalime :)

Diky

musixx · 28. 01. 2009 16:19 — Editoval musixx (28. 01. 2009 16:24)

↑ mistrous: To plati pouze pro matice s determinantem rovnym jedne. Pokud jste o determinantech jeste neslyseli, doporucuju radeji vzdy pocitat podle postupu, ktery znate, a neexperimentovat.

EDIT: Plati totiz, ze inverze k matici $A=\begin{pmatrix}a&b\nlc&d\end{pmatrix}$ je matice $\frac1{\det(A)}\cdot\begin{pmatrix}d&-b\nl-c&a\end{pmatrix}=\frac1{ad-bc}\cdot\begin{pmatrix}d&-b\nl-c&a\end{pmatrix}$ .

mistrous · 28. 01. 2009 16:22

tak super dekuju moc, to je ode me vse

umrlec · 28. 01. 2009 17:26

vosa napsal(a):
přesně tak.
Aha, tahle soustava / matice soustavy byla dost jednoduchá, takže vlastně ani nepotřebovala upravit. Čili jsem tě zbytečně přinutila dělat něco, co nebylo nutné. (ale třeba se ti to bude hodit u dalších příkladů ;) Pokud vektor který soustavě vyhovuje neumíš "vykoukat" přímo z matice, asi ti nezbyde, než si matici přepsat do soustavy rovnic, přesně jako jsi to udělal výše. (ty rovnice budou stejné, jen proházené)

a teď, poslední řádek ti neříká nic (jsou v něm samé nuly)
3. řádek říká, že pro třetí a čtvrtou souřadnici vektoru má platit x3 - x4 = 0, takže hodnotu jedné souřadnice si můžeš zvolit a zbylou dopočítat.
jejich hodnoty pak dosadíš do 2. rovnice (2*x2 + x3 + x4 = 0) a dopočítáš x2, atd...

Děkuji .) vlastní vektor vyšel x = (2alfa, -alfa, alfa, alfa)

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2009 21:13

Matice 4x4 a vlastní číslo / vektor

#2 27. 01. 2009 21:47

Re: Matice 4x4 a vlastní číslo / vektor

#3 27. 01. 2009 21:52

Re: Matice 4x4 a vlastní číslo / vektor

#4 27. 01. 2009 22:25

Re: Matice 4x4 a vlastní číslo / vektor

#5 28. 01. 2009 14:46

Re: Matice 4x4 a vlastní číslo / vektor

#6 28. 01. 2009 14:53 — Editoval musixx (28. 01. 2009 14:53)

Re: Matice 4x4 a vlastní číslo / vektor

#7 28. 01. 2009 15:02

Re: Matice 4x4 a vlastní číslo / vektor

#8 28. 01. 2009 15:10

Re: Matice 4x4 a vlastní číslo / vektor

#9 28. 01. 2009 15:35

Re: Matice 4x4 a vlastní číslo / vektor

#10 28. 01. 2009 16:01

Re: Matice 4x4 a vlastní číslo / vektor

#11 28. 01. 2009 16:13

Re: Matice 4x4 a vlastní číslo / vektor

#12 28. 01. 2009 16:19 — Editoval musixx (28. 01. 2009 16:24)

Re: Matice 4x4 a vlastní číslo / vektor

#13 28. 01. 2009 16:22

Re: Matice 4x4 a vlastní číslo / vektor

#14 28. 01. 2009 17:26

Re: Matice 4x4 a vlastní číslo / vektor

vosa napsal(a):

Zápatí