Matematické Fórum

davepb · 25. 01. 2014 11:41 — Editoval davepb (25. 01. 2014 11:44)

Riešim pár príkladov na mat. indukciu a s touto jednou si neviem rady:

Dokážte pre $(\forall n\in\mathbb N,n\ge3)$ nerovnosť:

$n^{n+1}>(n+1)^{n}$

Pre $n=3$ nerovnosť platí, takže som v časti, kde chcem využiť indukčný predpoklad, ale neviem nejako rozumne vyjadriť z $(n+1)^{n+2}$ nejaký násobok alebo niečo podobné $n^{n+1}$ .
Snažil som sa o niečo takéto:
$(n+1)^{n+2}=(n+1)(n+1)^{n+1}=(n+1)\bigg(\sum_{k=0}^{n+1}{n \choose k}n^{n+1-k}\bigg)=(n+1)\bigg(n^{n+1}+\sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k}n^{n+1-k}\bigg)>$
$>(n+1)\bigg((n+1)^{n}+\sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k}n^{n+1-k}\bigg)$
ale ďalej naozaj neviem a vôbec nie som si istý, či mi toto vôbec pomohlo.
Uvítal by som nejaké rady, že akým smerom mám s týmto príkladom pohnúť.

jelena · 26. 01. 2014 00:21

Zdravím,

zkoušela jsem takovou úpravu pro (n+1):
$(n+1)^{n+1+1}>(n+1+1)^{n+1}$
$(n+1)>$\frac{n+1+1}{n+1}$^{n+1}$
$(n+1)>$1+\frac{1}{n+1}$^{n+1}$

A tady by se hodil na pravou stranu použit výsledek (případně doplnit důkaz) Bernoulli nerovnosti (např. z odkazů kolegů). Může být? Děkuji.

davepb · 26. 01. 2014 00:44

@jelena: Ďakujem za odpoveď.
Teda už len stačí ukázať, že:

$(n+1)>\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^{n+1}\ge1+(n+1)\bigg(\frac{1}{n+1}\bigg)=1+1=2$

čo vyplýva z Bernoulliho nerovnosti a potom aj pôvodná nerovnosť platí? Je tento argument postačujúci k tomu aby platila nerovnosť zo zadania?

jelena · 26. 01. 2014 08:45

↑ davepb:

mně důkazy nijak zvlášť nejdou (skoro vůbec), ale řekla bych, že žádný z kroku matematické indukce jsme nevynechali (indukční předpoklad snad stačí jen vyslovit, "že předpokládáme, že platí pro n").

Pokud jste Bernoulli nerovnost nedokazovali, tak jde doplnit také důkazem matematické indukce - viz odkazy. Zkusila jsem zadat hledání, např. tak (to se mi zda, jako obdobná idea). Případně to někdo z laskavých kolegů pokritizuje.

Matematické Fórum

#1 25. 01. 2014 11:41 — Editoval davepb (25. 01. 2014 11:44)

Matematická indukcia s nerovnosťou

#2 26. 01. 2014 00:21

Re: Matematická indukcia s nerovnosťou

#3 26. 01. 2014 00:44

Re: Matematická indukcia s nerovnosťou

#4 26. 01. 2014 08:45

Re: Matematická indukcia s nerovnosťou

Zápatí